Комплексные векторы в комплексном пространстве

User avatar
perasperaadastra
Уже с Приветом
Posts: 20128
Joined: 21 Feb 2009 22:55
Location: Лох Онтарио

Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by perasperaadastra » 27 Apr 2017 23:06

Не могу найти ничего толкового в интернетах... Если у нас есть комплексное пространство, например, двухмерное, в котором заданы два вектора (Ax+iBx, Ay+iBy) и (Cx+iDx, Cy+iDy), то как считаются их длины и скалярное произведение? По обычным формулам, или тут есть особенности (например, влезают сопряженные комплексные координаты)?

User avatar
Think_Different
Уже с Приветом
Posts: 4864
Joined: 21 Oct 2016 14:32
Location: NYC

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Think_Different » 28 Apr 2017 03:16

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

User avatar
Dmitry67
Уже с Приветом
Posts: 27347
Joined: 29 Aug 2000 09:01
Location: SPB --> Gloucester, MA, US --> SPB --> Paris

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Dmitry67 » 28 Apr 2017 09:35

Think_Different wrote:
28 Apr 2017 03:16
длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).
А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?
1. i**2 = -1
2. Биекция: длина 1.

Насколько мне известно, природа больше любит первый вариант, например entanglement это следствие того, что корреляция двух комплексных величин может превышать 100%. То есть просто в обычные формулы пихают комплексность
Зарегистрированный нацпредатель, удостоверение N 19719876044787 от 22.09.2014

User avatar
Think_Different
Уже с Приветом
Posts: 4864
Joined: 21 Oct 2016 14:32
Location: NYC

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Think_Different » 28 Apr 2017 12:54

Dmitry67 wrote:
28 Apr 2017 09:35
Think_Different wrote:
28 Apr 2017 03:16
длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).
А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?
Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....

User avatar
Dmitry67
Уже с Приветом
Posts: 27347
Joined: 29 Aug 2000 09:01
Location: SPB --> Gloucester, MA, US --> SPB --> Paris

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Dmitry67 » 28 Apr 2017 13:11

Think_Different wrote:
28 Apr 2017 12:54
Dmitry67 wrote:
28 Apr 2017 09:35
Think_Different wrote:
28 Apr 2017 03:16
длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).
А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?
Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....
Точно также можно сказать - у вас квадрат величины отрицательное число? Оригинально...
Зарегистрированный нацпредатель, удостоверение N 19719876044787 от 22.09.2014

User avatar
Dmitry67
Уже с Приветом
Posts: 27347
Joined: 29 Aug 2000 09:01
Location: SPB --> Gloucester, MA, US --> SPB --> Paris

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Dmitry67 » 28 Apr 2017 13:14

perasperaadastra wrote:
27 Apr 2017 23:06
Не могу найти ничего толкового в интернетах... Если у нас есть комплексное пространство, например, двухмерное, в котором заданы два вектора (Ax+iBx, Ay+iBy) и (Cx+iDx, Cy+iDy), то как считаются их длины и скалярное произведение? По обычным формулам, или тут есть особенности (например, влезают сопряженные комплексные координаты)?
Ваша интуиция вас не подвела
https://www.physicsforums.com/threads/l ... or.646067/
Таки complex conjugates
В частности длина комплексного вектора равна sqrt(xx*)
Зарегистрированный нацпредатель, удостоверение N 19719876044787 от 22.09.2014

User avatar
Think_Different
Уже с Приветом
Posts: 4864
Joined: 21 Oct 2016 14:32
Location: NYC

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Think_Different » 28 Apr 2017 17:33

Dmitry67 wrote:
28 Apr 2017 13:11
Think_Different wrote:
28 Apr 2017 12:54
Dmitry67 wrote:
28 Apr 2017 09:35
Think_Different wrote:
28 Apr 2017 03:16
длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).
А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?
Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....
Точно также можно сказать - у вас квадрат величины отрицательное число? Оригинально...
Вы, очевидно, не поняли, что я написал. Ничего страшного. Бывает.

User avatar
Think_Different
Уже с Приветом
Posts: 4864
Joined: 21 Oct 2016 14:32
Location: NYC

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Think_Different » 28 Apr 2017 17:38

еще раз, более подробно.

Биекция между C^2 и R^4 определяется следующим (очевидным) образом. (z1, z2), где z1 = a + b*i, and z2 = c + d*i <-> (a, b, c, d).

Таким образом, например, элементу (0, i) в C^2 соответствует (0,0,0,1) в R^4. длина (норма) последнего в R^4, очевидно, равна 1.

Дайте знать если остались вопросы.

User avatar
perasperaadastra
Уже с Приветом
Posts: 20128
Joined: 21 Feb 2009 22:55
Location: Лох Онтарио

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by perasperaadastra » 03 May 2017 20:00

Извините, что не отвечал. Нужно было подумать. Отображение в R4 безусловно заслуживает внимание, но мне кажется, есть в этом какая-то неправильность (не в смысле ошибка, а "неудобство" или что-то вроде этого). R4 подразумевает базисы, состоящие из 4 векторов. В то же время, теоретически, в базисах пространства C2 векторов должно быть всего лишь два? Понятно, что каждая координата содержит и 1, и i, которые похожи на единичные векторы — но ведь комплексная плоскость не является полноценным векторным пространством? Или я ошибаюсь?

User avatar
Dmitry67
Уже с Приветом
Posts: 27347
Joined: 29 Aug 2000 09:01
Location: SPB --> Gloucester, MA, US --> SPB --> Paris

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Dmitry67 » 03 May 2017 21:28

См мой ответ
Conjugate
Зарегистрированный нацпредатель, удостоверение N 19719876044787 от 22.09.2014

User avatar
Think_Different
Уже с Приветом
Posts: 4864
Joined: 21 Oct 2016 14:32
Location: NYC

Re: Комплексные векторы в комплексном пространстве

Post by Think_Different » 03 May 2017 22:10

perasperaadastra wrote:
03 May 2017 20:00
Извините, что не отвечал. Нужно было подумать. Отображение в R4 безусловно заслуживает внимание, но мне кажется, есть в этом какая-то неправильность (не в смысле ошибка, а "неудобство" или что-то вроде этого). R4 подразумевает базисы, состоящие из 4 векторов. В то же время, теоретически, в базисах пространства C2 векторов должно быть всего лишь два? Понятно, что каждая координата содержит и 1, и i, которые похожи на единичные векторы — но ведь комплексная плоскость не является полноценным векторным пространством? Или я ошибаюсь?
"неудобство" понятие относительное. что не удобно тебе удобно мне. как удобно, так и работай. главное, чтобы понимал, что делаешь :)
идея с R^4 абсолютно ествественная. ведь, надеюсь, комплексные числа тебе не неудобно представлять как элементы R^2? соответственно, C^2 можно рассматривать как R^4.

Return to “Наука и Жизнь”