Игра с кубиками

и задачки для интервью.
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

M. Ridcully wrote: Это как?
По-моему очевидно, что частота последовательности 4-4-4 будет больше, чем частота последовательности 1-3-5.
Мой комментарий относился к сравнению вероятностей 1-4 и 4-4. Про 1-3-5 и 4-4-4 мне кажется, что должно быть одинаково.


Sent from my iPhone using Tapatalk
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 23:20 Если вы находясь в состоянии 1, вытягиваете 4, то вы получаете последовательность (1,4) и игра заканчивается - вы проиграли. Т.е. из состояния 1 в состояние 2 попасть нельзя, а вот наоборот можно.


Sent from my iPhone using Tapatalk
А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

veey+ wrote: 30 Dec 2020 21:31 я не вижу, как у одного игрока шансов может быть больше, чем у другого. Вот почему.

У стандартного кубика сумма чисел на противоположных сторонах равна 7. Т.е. чтобы выпала 4-ка, надо, чтобы кубик приземлился на 3-ку.
Т.е., если бы игра заключалось в том, кто первый выбросит 4-ку (т.е. приземлит кубик на 3-ку) три раза подряд, то очевидно, что оба игрока имеют одинаковые шансы.
В нашем случае совершенно неважно стандартные кубики или нет. Поэтому сделаем так:
- оба игрока просто бросают кубик в надежде 3 раза подряд приземлить его на 3-ку.
- с кубиком 1-го игрока мы ничего не делаем, а у кубика 2-го меняем местами 1 и 4. Далее, если таки он приземлил кубик на 3-ку, меняем местами 3 и 1. И если ему повезло дважды - то 5 и 3.

Т.е. вполне очевидно, что шансы равны.
Я выше и написал, что если кубик бросать два раза, то шансы первым получить искомую тройку равны (равны нулю), Если бросать три раза, то шансы тоже равны (равны 1/216). Но это не является ни доказательством, ни опровержением того, что шансы равны или не равны в бесконечной последовательности.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Физик-Лирик wrote: 30 Dec 2020 21:57
jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:58 Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.
Другими словами, есть случайная величина, равная времени первого события (т.е. номера итерации). Событие = выпадение заданной последовательности. Ищется распределение этой случайной величины (а точнее, двух величин) и, как следствие, сравнение моментов.
jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:39 Марковские цепи - наше всё.
Да, Марковкая цепочка. Однако, если под событием подразумевать выпадение следующего кубика, то получается транзитивная вероятность 1/6 (она же условная вероятность) в силу независимости событий.
Да. Точнее, само распределение не ищется, вопрос лишь о его первом моменте. Естественно, из первого следует второе, но первое -- это, пожалуй, overkill в данном контексте.

Если состояния марковской цепочки -- отдельные цифры, то да. Однако (на грани hint'a) состояния цепочки (события) можно определять по-разному, в зависимости от того, что хочется узнать.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Физик-Лирик wrote: А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.
Вы мне задали вопрос: где и как ломается симметрия. Я вам на него ответил. Вы с какой целью спрашивали?


Sent from my iPhone using Tapatalk
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

А можно так рассуждать? Рассматриваю для простоты пару цифр.
Процесс (реализация стохастического процесса) подбрасываний кубика: Р=(р_1, р_2, , ...), где р_i из множества (1,2,3,4,5,6)
Событие C=(с1,с2).
T - время первого события: Т=k, если p_k = c1, p_(k+1) = c2.
Подсчитаем вероятности Prob(T=k).

1) C=(1,3), т.е. разные цифры.
Prob(T=1): одна комбинация из 6^2, т.е. Prob(T=1) = 1/6^2.
Prob(T=2): p_2 = c1, p_3 = c2, тогда р_1 может быть любой; Prob(T=2) = 6/6^3, т.е. из 6^3 возможных комбинаций из трех цифр в шести получаем результат.
Prob(T=3): p_3 = c1, p_4 = c2. Всего 6^4 комбинаций из четырех цифр. Первые две цифры не могут составлять пару (с1,с2), т.е. из 6^2 комбинаций из первых двух цифр исключим одну пару (с1,с2); Prob(T=3)=(6^2 -1)/6^4
Продолжаем вычисления.

2) C=(4,4), т.е. c1=c2, одинаковые цифры.
Prob(T=1): одна комбинация из 6^2, т.е Prob(T=1) = 1/6^2.
Prob(T=2): если p_2 = c1, p_3 = c2(=c1), тогда р_1 может быть любой кроме c1(=c2); Prob(T=2) = (6-1)/6^3
Prob(T=3): p_3 = c1, p_4 = c2(=c1). Всего 6^4 комбинаций. Первые две цифры (p_1, p_2) не могут составлять пару (с1,с2), и вторая цифра не может быть с1(=c2), т.е. из 6^2 комбинаций первых двух цифр исключим (с1,с2) и 5 других комбинаций, когда первая цифра не равна с1, а вторая цифра = с2.
Prob(T=3)=(6^2 -1-5)/6^4
Продолжаем вычисления.

Уже из этих первых шагов видно, что вероятность встретить пару одинаковых цифр меньше вероятности получения пары неодинаковых цифр. Сами цифры значения не имет. Важно лишь равны или не равны.
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Я кстати прогнал программу для подтверждения. Действительно, при равенстве цифр среднее значение времени первого события больше.
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 31 Dec 2020 00:25
Физик-Лирик wrote: А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.
Вы мне задали вопрос: где и как ломается симметрия. Я вам на него ответил. Вы с какой целью спрашивали?


Sent from my iPhone using Tapatalk
С целью разобраться.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Да, можно, и это правильный путь.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Физик-Лирик wrote: 31 Dec 2020 00:55 Я кстати прогнал программу для подтверждения. Действительно, при равенстве цифр среднее значение времени первого события больше.
Всё правильно. :fr:

Должно быть где-то на 16% больше.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Наверное, более наглядно описать так:

Свою заветную первую цифру (4 для Байдена и 1 для Харрис) участникам приходится ждать (статистически) одинаковое время (количество бросков). После чего начинаются расхождения:
- Если у Байдена выпадет что-нибудь из набора {1,2,3,5,6} -- с вероятностью 5/6 --, то его статус фактически обнуляется и ему снова надо ждать (статистически) столько же времени до следующей 4. С вероятностью же 1/6 (если будет 4) Байден остаётся в статусе ожидания заветной тройки.
- Если у Харрис выпадет выпадет что-нибудь из набора {2,4,5,6} -- с вероятностью 4/6 --, то её статус фактически обнуляется, и ей снова надо ждать (статистически) столько же времени до следующей 1. Свероятностью же 2/6 (если будет 3 или 1) Харрис остаётся в статусе ожидания заветной тройки.

Таким образом, до первой цифры всё развивается одинаково, но дальше Байден соскальзывает чаще чем Харрис.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

jsjs wrote: 31 Dec 2020 01:15 Наверное, более наглядно описать так:

Свою заветную первую цифру (4 для Байдена и 1 для Харрис) участникам приходится ждать (статистически) одинаковое время (количество бросков). После чего начинаются расхождения:
- Если у Байдена выпадет что-нибудь из набора {1,2,3,5,6} -- с вероятностью 5/6 --, то его статус фактически обнуляется и ему снова надо ждать (статистически) столько же времени до следующей 4. С вероятностью же 1/6 (если будет 4) Байден остаётся в статусе ожидания заветной тройки.
- Если у Харрис выпадет выпадет что-нибудь из набора {2,4,5,6} -- с вероятностью 4/6 --, то её статус фактически обнуляется, и ей снова надо ждать (статистически) столько же времени до следующей 1. Свероятностью же 2/6 (если будет 3 или 1) Харрис остаётся в статусе ожидания заветной тройки.

Таким образом, до первой цифры всё развивается одинаково, но дальше Байден соскальзывает чаще чем Харрис.
Очень информативные (и простые) аргументы. :good:
Однако, если постараться реально найти матожидание, то придется расписывать цепочки вероятностей. Интересно, такие резульаты имеются?
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Да, вот тут ещё более бурное обсуждение этого варианта https://en.wikipedia.org/wiki/Penney%27s_game со ссылками:
https://avva.livejournal.com/3260567.html
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

@jsjs, спасибо - красивая задача. То, что вероятности обнуления отличаются для 4-4-4 и для 1-3-5 я немного упустил из виду, когда рассматривал марковский процесс. А так модельная задача 1-3 vs 4+4, описаная выше, работает, если добавить к моему первоначальному описанию марковского процесса этот дополнительный переход 1-->1. Сразу видно, что состояния с выпавшей 1 и выпавшей 4 несимметричны (см. картинку), а значит вероятности будут отличаться (в начале я думал, что симметрия нарушается только в случае 1+4 vs. 4+4, но она нарушена и в общем случае).

Если предположить, что выпадение 2-х 4-к - это победа, а выпадение 1+3 - это поражение, а также обозначить вероятность победы из состояния 1 (just saw 1) - p1, вероятность победы из состояния 2 (just saw 4) - p2, а вероятность победы из состояния 3 (did not see 1 or 4) - p3, то их можно описать системой уравнений приведенной на картинке. Её решение даёт, что вероятности получить 4+4 vs. 1+3 относятся как 6 к 7.

Наверное можно обобщить этот подход и на случай троек, но решение будет громоздким.
IMG_0036_small.jpg
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
Last edited by Chessplayer on 31 Dec 2020 06:37, edited 1 time in total.
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Физик-Лирик wrote: 31 Dec 2020 00:55 С целью разобраться.
Нарисовал картинку выше.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

@Chessplayer -- и Вам спасибо за дискуссию!
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
M. Ridcully
Уже с Приветом
Posts: 12003
Joined: 08 Sep 2006 20:07
Location: Силиконка

Re: Игра с кубиками

Post by M. Ridcully »

Да, любопытная задачка!
Oleg Co
Уже с Приветом
Posts: 7911
Joined: 19 May 2008 22:10
Location: BY->DEU->SFBA

Re: Игра с кубиками

Post by Oleg Co »

Так и не понял, если бы кубики кидал Трамп и Пенс, кто бы выиграл тогда?

Return to “Головоломки”