задачка о целом кубе

obormot · Post by **obormot** » 29 Oct 2001 16:12

Есть куб, все вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки (т.е. имеют целые координаты). Доказать что его сторона - целое число (заметьте что для квадрата аналогичное утверждение неверно).
Задачка решается в уме!

Melkor · Post by **Melkor** » 29 Oct 2001 16:37

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by obormot:
Есть куб, все вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки (т.е. имеют целые координаты). Доказать что его сторона - целое число (заметьте что для квадрата аналогичное утверждение неверно).
Задачка решается в уме!<HR></BLOCKQUOTE>

Пусть a,b,c - вектора, соответствующие 3м сторонам, выходящим из одной вершины, l - длина стороны куба. Тогда a x b = c*l, и, поскольку a x b и с имеют целочисленные координаты, l тоже целое

omnibee · Post by **omnibee** » 29 Oct 2001 22:25

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Melkor:


Пусть a,b,c - вектора, соответствующие 3м сторонам, выходящим из одной вершины, l - длина стороны куба. Тогда a x b = c*l, и, поскольку a x b и с имеют целочисленные координаты, l тоже целое<HR></BLOCKQUOTE>

Допустим, l равно 1.5, а "c" что-то вроде (2,2,2). Тогда результат умножения будет (3,3,3), что целочисленно, но l не целочисленно.

Melkor · Post by **Melkor** » 29 Oct 2001 23:16

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by omnibee:


Допустим, l равно 1.5, а "c" что-то вроде (2,2,2). Тогда результат умножения будет (3,3,3), что целочисленно, но l не целочисленно.<HR></BLOCKQUOTE>

Да, верно, из этого следует лишь то, что l - рациональное число. Нужно добавить, что, коль скоро еще и l*l - число целое, то вот тогда только l - тоже целое.

omnibee · Post by **omnibee** » 29 Oct 2001 23:29

А откуда следует, что l*l - целое?

Melkor · Post by **Melkor** » 30 Oct 2001 00:15

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by omnibee:
А откуда следует, что l*l - целое?<HR></BLOCKQUOTE>
Ну, l*l = a*a, скажем

obormot · Post by **obormot** » 30 Oct 2001 01:44

самое "примитивное" известное мне решение - квадрат стороны число целое (теорема Пифагора), куб - число рациональное (объем многогранника с целыми вершинами - получаемого "отрезанием" от куба со сторонами параллельными осям пирамид с боковыми ребрами параллельными осям), так что сторона - число рациональное, а значит целое, т.к. у нее целый квадрат.
На самом деле это то же самое решение, конечно

-ЭР- · Post by **-ЭР-** » 30 Oct 2001 06:12

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by obormot:
Есть куб, все вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки (т.е. имеют целые координаты). Доказать что его сторона - целое число (заметьте что для квадрата аналогичное утверждение неверно).<HR></BLOCKQUOTE>

Что-то я эту задачку никак "догнать" не могу. Объясните пожалуйста, что неправильного в таких рассуждениях. В осях X и Y я рисую квадрат. Для него утверждение о целочисленности стороны неверно. Дальше я пририсовываю ось Z, перпендикулярно плоскости (X, Y) и вдоль этой оси превращаю исходный квадрат в куб. Тогда, по условию задачи, мой исходный квадрат уже удовлетворяет условию о целочисленности стороны. Что с ним такого волшебного случилось?

Leopold · Post by **Leopold** » 30 Oct 2001 18:23

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by -ЭР-:


Что-то я эту задачку никак "догнать" не могу. Объясните пожалуйста, что неправильного в таких рассуждениях. В осях X и Y я рисую квадрат. Для него утверждение о целочисленности стороны неверно. Дальше я пририсовываю ось Z, перпендикулярно плоскости (X, Y) и вдоль этой оси превращаю исходный квадрат в куб. Тогда, по условию задачи, мой исходный квадрат уже удовлетворяет условию о целочисленности стороны. Что с ним такого волшебного случилось?<HR></BLOCKQUOTE>

Эту часть я догнал. Вершины куба должны иметь целочисленные координаты (по условиям задачи). Раз для Вашего квадрата сторона != целому числу, Z-координата не будет целым!

-ЭР- · Post by **-ЭР-** » 31 Oct 2001 20:16

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Leopold:


Раз для Вашего квадрата сторона != целому числу, Z-координата не будет целым!<HR></BLOCKQUOTE>

Да, понятно. Вот еще одна вариация (ничего нового, идея - та же). Рассмотрим пирамиду образованную тремя ребрами куба выходящими из одной точки. Тогда объем этой пирамиды:

| x - x1 y - y1 z - z1 |
| x - x2 y - y2 z - z2 | * 1.6 = V
| x - x3 y - y3 z - z3 |

т.е. целое. Если длина ребра - а, то a^3 (объем этой пирамиды)- целое и a^2 - целое, т.е а - целое.

[ 31-10-2001: Message edited by: -ЭР- ]