непрерывная функция

Droma · Post by **Droma** » 24 Oct 2001 21:54

On a spherical planet the temperature varies continuously over the entire surface. The government needs to put two satellite control stations on diametrically opposite points on the planet. Howevwr, the control stations can only communicate if they are in areas of equal temperature. Prove that it is possible to build two control stations that can communicate.
Понятно, что дело в непрерывности функции, как же это использовать?

Mak_Sim · Post by **Mak_Sim** » 24 Oct 2001 23:15

А что значит - varies continuosly on surface? Если это значит, что температура на поверхности сферы плавно изменяется от точки А к точке Б (не обязательно противолежащих), то существует изотерма, проходящая по дуге большого круга. На этом "температурном экваторе" и построим станции.

Drom · Post by **Drom** » 25 Oct 2001 02:00

так проще:
доказать, что для непрерывной F(x)=F(x+A) и для любого B существует x=x0 : F(x0)=F(x0+B)
?

Droma · Post by **Droma** » 25 Oct 2001 02:27

Mak_Sim:
плавно изменяется от точки А к точке Б (не обязательно противолежащих), то существует изотерма, проходящая по дуге большого круга. На этом "температурном экваторе" и построим станции.

Но необходимо доказать существование двух точек с одинаковой температурой и diametrically oppositе

tengiz · Post by **tengiz** » 25 Oct 2001 02:27

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Drom:
так проще:
доказать, что для непрерывной F(x)=F(x+A) и для любого B существует x=x0 : F(x0)=F(x0+B)
?<HR></BLOCKQUOTE>Чтобы не портить кайф тем, кто думает над задачей, скажу только, что это следствие одной простенькой теоремы из Матанализа первого семестра первого курса для нормальных технических вузов. Если я правильно помню, когда это проходят. Такой вариант ответа принимается?

RrM · Post by **RrM** » 25 Oct 2001 02:40

Ну, поскольку решать все равно надо только для линии экватора, то речь идет о функции двух переменных - да, должен быть первый семестр. [img:cd417e2bd8]images/smiles/icon_smile.gif[/img:cd417e2bd8]

Droma · Post by **Droma** » 25 Oct 2001 02:41

To tengiz
Обойдёмся ли следствием "одной простенькой" теоремы ? Достаточно ли одной и какой ?
Наверное Вы думаете о "Промежуточных значениях непрерывной функции"?
Как же быть с нахождением диаметрально противоп. точек?

Droma · Post by **Droma** » 25 Oct 2001 02:48

to RrM
Необязательно рассматривать только экватор,на сфере есть и другие диаметр. противоположные точки, например точки полюсов могут удовлетв условию задачи.

Kisena · Post by **Kisena** » 25 Oct 2001 03:06

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by RrM:
Ну, поскольку решать все равно надо только для линии экватора, то речь идет о функции двух переменных - да, должен быть первый семестр. [img:d70ee37f48]images/smiles/icon_smile.gif[/img:d70ee37f48]<HR></BLOCKQUOTE>

Обойдемся, конечно. Встанем, например, на N и S. Если f(N) = f(S), то задача решена. В противном случае без ограничения общности будем считать, что f(N) - f(S) > 0. Иначе переименуем точки. теперь будем двигать N вдоль меридиана. S будет двигаться, оставаясь, противоположной точкой. В конечном итоге N перейдет в S, и наоборот. При этом разница функций будет уже отрицательная. Значит, по той самой теореме где-то был ноль.

Droma · Post by **Droma** » 25 Oct 2001 03:41

To Kisena
Спасибо за доставленное удовольствие, пока не могу найти слабое место,особенно понравился переход к функции с одной переменной.
А название той теоремки: "Теорема Коши о нулях непрерывной функции" - лёгкая грусть о первом курсе мех-мата НГУ [img:4b2ed3dac9]images/smiles/icon_smile.gif[/img:4b2ed3dac9]

Mak_Sim · Post by **Mak_Sim** » 25 Oct 2001 04:18

Droma:
Говоря "температурный экватор" я не имел в виду экватор географический. В моем ответе это линия равных температур, проходящая по дуге большого круга.
Решим задачу анекдотическим методом [img:cf11816b39]images/smiles/icon_wink.gif[/img:cf11816b39]
Пусть на глобус натянут презерватив и завязан узелком в какой-то точке, например, в Нью-Йорке. Развяжем узелок и будем равномерно скатывать края к другой точке, например, к Кабулу. Край резинки в каждый момент времени образует окружность на сфере. Наступит момент, когда эта окружность пройдет по дуге большого круга, т.е. в нашей системе это будет экватор. Любые две точки на этой окружности имеют равную температуру.
А уж где именно ставить станции - это в задаче определять не требовалось.

[ 24-10-2001: Message edited by: Mak_Sim ]

RrM · Post by **RrM** » 25 Oct 2001 06:14

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Droma:
to RrM
Необязательно рассматривать только экватор,на сфере есть и другие диаметр. противоположные точки, например точки полюсов могут удовлетв условию задачи.<HR></BLOCKQUOTE>
Э... ну во-первых, очевидно, что решив задачу для экватора, мы удовлетворили более жестким условиям и уж во всяком случае решили ее для всего шарика... А во-вторых, Вы же хотели [b:12743c97e6]спутники[/b:12743c97e6] подвешивать над этими точками? [img:12743c97e6]images/smiles/icon_wink.gif[/img:12743c97e6] Только не говорите теперь, что задачка - из матанализа, а не из физики. Тогда тщательнЕе надо формулировать условия... [img:12743c97e6]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:12743c97e6]

AK70 · Post by **AK70** » 25 Oct 2001 15:00

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Droma:
To Kisena
Спасибо за доставленное удовольствие, пока не могу найти слабое место,особенно понравился переход к функции с одной переменной.
<HR></BLOCKQUOTE>

she didn't explicitely used the fact that the function is continueous, so the proof might sound sort of icomplete [img:c0104004ff]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c0104004ff] but there's no weakness in her proof, actually.

Kisena · Post by **Kisena** » 25 Oct 2001 18:29

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Наступит момент, когда эта окружность пройдет по дуге большого круга, т.е. в нашей системе это будет экватор. Любые две точки на этой окружности имеют равную температуру.
<HR></BLOCKQUOTE>
Откуда сие следует? Имея в виду, что в Вашем доказательстве начальная точка берется произвольно, Вы доказали, что температура точек на [b:47b5ba2a17]любой[/b:47b5ba2a17] большой окружности постоянна. Рассматривая все меридианы, выводим, что функция является постоянной. Т.е. согласно Вам, любая непрерывная функция на сфере - константа. Не слишком ли сильное утверждение?
<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
she didn't explicitely used the fact that the function is continueous, so the proof might sound sort of icomplete but there's no weakness in her proof, actually.
<HR></BLOCKQUOTE>
Непрерывность, конечно, использовалась. Перечитайте доказательство.

Greg Smilikoff · Post by **Greg Smilikoff** » 26 Oct 2001 17:25

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Mak_Sim:
Droma:
Говоря "температурный экватор" я не имел в виду экватор географический. В моем ответе это линия равных температур, проходящая по дуге большого круга.
<HR></BLOCKQUOTE>

Где б такую найти ... [img:3575c7f182]images/smiles/icon_smile.gif[/img:3575c7f182]
Хотя термический экватор есть - 7 крадусов северной широты

Mak_Sim · Post by **Mak_Sim** » 27 Oct 2001 01:27

Кисена, виноват [img:c6d3d97a42]images/smiles/icon_sad.gif[/img:c6d3d97a42] Я предполагал, что эти две точки - максимум и минимум температуры на сфере, и что вдоль любого меридиана, соединяющего эти точки, температура изменяется монотонно. Конечно, это неверно - температура может меняться по любому закону.
Можно доказать, что для непрерывной функции в сферических координатах найдется хотя бы одна пара точек для которых Т(Л,Ф)=Т(-Л,-Ф)?

Kisena · Post by **Kisena** » 02 Nov 2001 22:03

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Mak_Sim:
Можно доказать, что для непрерывной функции в сферических координатах найдется хотя бы одна пара точек для которых Т(Л,Ф)=Т(-Л,-Ф)?<HR></BLOCKQUOTE>

Конечно. Л=0, Ф=0. [img:2d3206771b]images/smiles/icon_smile.gif[/img:2d3206771b]

Mak_Sim · Post by **Mak_Sim** » 02 Nov 2001 23:35

Ну вот, опять поторопился... Для долготы, конечно, должно быть Л и 180+Л, т.е. ищем точки f(Л,Ф) = f(180+Л,-Ф), где Л - долгота, Ф - широта.

Online · Post by **Online** » 03 Nov 2001 00:31

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Kisena:


Обойдемся, конечно. Встанем, например, на N и S. Если f(N) = f(S), то задача решена. В противном случае без ограничения общности будем считать, что f(N) - f(S) > 0. Иначе переименуем точки. теперь будем двигать N вдоль меридиана. S будет двигаться, оставаясь, противоположной точкой. В конечном итоге N перейдет в S, и наоборот. При этом разница функций будет уже отрицательная. Значит, по той самой теореме где-то был ноль.<HR></BLOCKQUOTE>
И если N и S взяты произвольно [img:e5feda1f20]images/smiles/icon_smile.gif[/img:e5feda1f20], то две любые точки, связываемые отрезком прямой, проходящей через центр сферы, нам подойдет.
А то что это за плавность такая в изменении, в самом деле?
Так что и метод с презервативом работает.
А доказательство векторно-координатное, да?

palmaker · Post by **palmaker** » 16 Nov 2001 23:28

Задачка, по-правде говоря из Гарднера. А доказательство и правда на уровне 1-ого семестра.
Хотя и приятное.