new problem

[Hoochin]

Dedicated to those who remember what cosa*cosb equals to: (i looked it up, i swear i used to remember)

Let dn be the determinant of the n by n matrix whose
entries, from left to right and then from top to bottom,
are cos 1, cos 2, …, cos n^2. (For example,

..... /cos1 cos2 cos3/
d3= /cos4 cos5 cos6/
... /cos7 cos8 cos9/
The argument of cos is always in radians, not degrees.)
Evaluate lim(n => infinity) dn.

[venco]

Подумай сам(а).
Интереснее же самому решить, не правда ли?

Ладно, если лень, то ответ:

0

[Hoochin]

Подумай сам(а).
Интереснее же самому решить, не правда ли?

Ладно, если лень, то ответ:

..

Правильно.
нетрудно посчитать д3.

[vaduz]

Dedicated to those who remember what cosa*cosb equals to

Huh?
IMHO достаточно знать факт, что в мирное время значение косинуса не превышает 1.0

[Hoochin]

а где в условии говорится про мирное время? - время может быть и военное и косинус, соответственно, может быть... любым.

[venco]

нетрудно посчитать д3.

Нетрудно посчитать для любого n>2.

[venco]

IMHO достаточно знать факт, что в мирное время значение косинуса не превышает 1.0

А если косинус гиперболический?

[Dimchik]

Атцы, объясните, в каком смысле понимается предел? Я знаю, что такое cos[nx], и что натуральные степени чисел <1 обычно маленькие, но cos - периодическая функция, поэтому такой аргумент, казалось бы, не катит в данном случае. А как иначе получить ответ venco (и согласившегося с ним автора) я не знаю.

[Hoochin]

Атцы, объясните, в каком смысле понимается предел? Я знаю, что такое cos[nx], и что натуральные степени чисел <1 обычно маленькие, но cos - периодическая функция, поэтому такой аргумент, казалось бы, не катит в данном случае. А как иначе получить ответ venco (и согласившегося с ним автора) я не знаю.

lim cos(nx) when n=>infinity is not defined, doesn't exist.

i forgot the exact definition, but you can look it up, i think
the limit (x=>c) is defined as the value, which exists such that
f(x) can be made to be as close to Limit as desired by making x sufficiently close to the c.

[Dimchik]

Атцы, объясните, в каком смысле понимается предел? Я знаю, что такое cos[nx], и что натуральные степени чисел <1 обычно маленькие, но cos - периодическая функция, поэтому такой аргумент, казалось бы, не катит в данном случае. А как иначе получить ответ venco (и согласившегося с ним автора) я не знаю.

lim cos(nx) when n=>infinity is not defined, doesn't exist.

i forgot the exact definition, but you can look it up, i think
the limit (x=>c) is defined as the value, which exists such that
f(x) can be made to be as close to Limit as desired by making x sufficiently close to the c.

Я об этом и говорю: в каком смысле понимать предел матрицы, если ясно, что ее элементы предела не имеют.

UPD: блин, слово determinant пропустил, прошу прощения.

[venco]

А как иначе получить ответ venco (и согласившегося с ним автора) я не знаю.

Для начала можно посчитать детерминант для n=3.

Я же воспользовавался регулярностью элементов матрицы и неким преобразованием матриц, не меняющим детерминант.

Тем, кто пытается воспользоваться тем, что модуль косинуса меньше единицы, предлагаю то же самое посчитать для гиперболического косинуса.

[Dimchik]

А как иначе получить ответ venco (и согласившегося с ним автора) я не знаю.

Для начала можно посчитать детерминант для n=3.

Я же воспользовавался регулярностью элементов матрицы и неким преобразованием матриц, не меняющим детерминант.

Тем, кто пытается воспользоваться тем, что модуль косинуса меньше единицы, предлагаю то же самое посчитать для гиперболического косинуса.

Я не заметил, что речь шла о детерминанте. Что cos, что cosh можно развалить на экспоненты, а потом считать сколько линейно независимых строк в матрице, ну и их оказывается совсем мало

Не могу сообразить, что за "некое преобразование" вы использовали. В голову приходит, отбрасывая транспонирование:), унитарное (ну или ортогональное для cosh), т.е. M=(U^+)M'U, но я не знаю, как его сюда прицепить.

[venco]

Не могу сообразить, что за "некое преобразование" вы использовали.

Простое прибавление одной строки с коэффициентом к другой.
Если кто ещё не понял, то элементы второй строки можно преобразовать: cos(n+k)=cos(n)cos(k)-sin(n)sin(k), убрать первое слагаемое вычитанием первой строки, домноженной на cos(n), а множитель -sin(n) вынести (в степени n). В результате вторая строка будет состоять из sin(k). То же самое можно сделать и с третьей строкой. В результате у нас будут две равные строки, т.е. детерминант точно равен нулю.
Аналогично для гиперболических косинусов, да и синусов тоже.

[Dimchik]

Не могу сообразить, что за "некое преобразование" вы использовали.

Простое прибавление одной строки с коэффициентом к другой.

Аааа, понял. Я, наоборот, из всех строк делал первую (для e^{\pm (In or n)}).