Уравнение в простых числах

[AndreyT]

Олимпиадная задачка для 8-го (или 9-го?) класса. Найти все простые числа p и q, т.ч.

p^3 - q^5 = (p + q)^2

Я решил "школьным" методом через арифметику по модулю (6, хотя лучше 3), рассмотрение всех возможных модулей для простых p и q, получив единственное решение p = 7, q = 3. Но вот назрели дополнительные вопросы:

1. А нет ли какого более прямого "профессорского" решения, например, опирающегося на простоту всех показателей степени (2, 3, 5). Мое "школьное" решение этого явно не использует.

2. А как насчет решения в натуральных числах (с нулем), т.е. без требования простоты? Я вижу (1, 0) и (7, 3) и вижу, что p должно заведомо делиться на 3. Но вот других решений в натуральных числах не вижу, подозревая таки, что они есть. Или можно показать, что их нет?

[Ворона]

Ну не знаю насчет "профессорского", а "первокурсное" можно что-то вроде такого:
уравнение относительно q:
q^5+q^2+ 2pq+p^2-p^3 =0.
Поскольку рассматриваем p>1, то p^2-p^3 <0, т.о., по правилу Декарта о перемене знака имеется не более одного положительньного корня q. http://mathworld.wolfram.com/DescartesSignRule.html

Ну и остается только подобрать q среди делителей p^2-p^3 (можно с помощью Excel ) : )
http://mathworld.wolfram.com/PolynomialRoots.html )

[AndreyT]

(Поправка: в моем первом сообшении должно быть
2. [...] Я вижу (1, 0) и (7, 3) и вижу, что q должно заведомо делиться на 3.[...])