Deynekin wrote:...А "салфетка" - завтра.
Ну вот и "завтра" уже на исходе, тянуть дальше некуда. Начнём с обозначений:
А и В - размеры плавающего прямоугольника (ПП) - высота и ширина, соответственно;
Н - глубина плавания "на ровном киле";
С - центр тяжести ПП;
О - центр тяжести вытесненной воды при плавании "на ровном киле";
О'- центр тяжести вытесненной воды при плавании в накренённном положении;
φ - угол накренения (считается малым);
ρ - плотность материала ПП; плотность жидкости принята за единицу, т.е. ρ<1 и H = ρ*A
(остальное ясно из Рис.1)
Поскольку в любом случае архимедова сила приложена в центре масс вытесненной воды (кто не знает почему - доказать самостоятельно!), найдём положение этого центра, когда ПП наклонён на угол φ.
Очевидно, радиус-вектор т-ки О' можно выразить так:
Ro' = (
Ro*Mo +
r2*m -
r1*m)/Mo =
Ro + (m/Mo)*(
r2 -
r1)
где Мо - масса всей вытесненной воды;
m - масса каждого из заштрихованных на Рис.1 треугольников m1 и m2; m1 берётся с минусом потому что эту массу отрезали (и перенесли в положение m2).
Ro - радиус вектор точки О (её-то и примем за начало всех радикс-векторов), а
r1 и
r2 - радиус-векторы центров масс треугольников m1 и m2 соответственно.
Таким образом видим, что при накренении центр масс переместился на вектор (m/Mo)*(
r2 -
r1)
Учитывая, что (с точностью до множителя ρ и в расчёте на единицу длины плавающего бруса)
Mo = А*В, m = 0.5*(В/2)*(В/2)*φ, получаем, что центр масс сместился вдоль направления вектора (
r2 -
r1) на величину
δΟ = (m/Mo)*|(
r2 -
r1)| = (0.5*(В/2)*(В/2)*φ)/(B*H)*(2/3*B) = 1/(3*H)*(B/2)^2*φ
(Тройка появилась потому, что центр массы всякого треугольника - это т-ка пересечения медиан; и конечно же, здесь "вовсю" использовалась малость угла φ. И ещё: на Рис.1 это расстояние обозначено как l, но это l плохо смотрится на печати, поэтому было выбрано обозначение δΟ, а на рисунке забыл исправить.)
Итак, положение точки О' - приложения подьёмной силы найдено. При этом сама подьёмная сила направлена по нормали к поверности воды (см. линию О'-Мс на рис.1) Точка её пересечения с направлением действия подьёмной силы при плавании на ровном киле (по-простому: с вертикальной осью симметрии) даёт положение метацетра Мс.
Теперь нетрудно подсчитать, что метацентр Мс лежит выше центра тяжести вытесненной воды на веричину L = δΟ/φ = 1/(3*Н)*(В/2)^2
Если угодно, этот же результат можно записать и в такой красивой форме: L/Н = 1/12*(В/Н)^2.
Вспоминая, что нас интересовала устойчивость при крене, из рассмотрения Рис.1 умозаключаем, что
всякое тело будет плавать устойчиво, если метацетр лежит выше центра тяжести плавающего тела, т.к. в этом случае подьёмная сила, действуя по линии О'-Мс создаёт восстанавливающий момент. Можно даже и так сказать: в смысле устойчивости тело ведёт себя так, как если бы оно было подвешено за метацентр; при этом, естественно, чем больше расстояние между центром тяжести тела и метацентром, тем устойчивее плавание; это расстояние называется "метацентрической высотой" и является очень важной характеристикой при конструировании и эксплуатации (напр., различные варианты загрузки) судна.
Замечание. Пока угол крена φ мал, положение метацентра от величины угла не зависит, иными словами, это действительно "одна точка". При больших накренениях найденная нами точка Мс "гуляет по высоте" и говорить о каком-то одном "центре" уже не получается. Но всё равно, если подьёмная сила в накренённом положении проходит межу центром тяжести судна и бортом, на которое судно накренилось, плавание устойчивое.
Возвращаясь в случаю доски, и учитывая, что при плавании без крена её центр тяжксти расположен на высоте А/2 над её нижней гранью, центр тяжести вытесненной воды - на высоте Н/2, и выражение для величины L уже имеется, условие "метацентр выше центра тяжести" приводит к соотношению, при котором плавание устойчиво:
В^2 > 6*H*(A-H).
Или, с учётом того, что Н = А*ρ, получаем элегантный результат: прямоугольник устойчиво плавает в положении, показанном на Рис.1, если его размеры и плотность материала удовлетворяют условию В/А > SQRT(ρ*(1-ρ)).
Графих функции SQRT(ρ*(1-ρ)) показан на Рис.2; наверняка многие легко опознают в нём простую полуокружность радиуса 1/2.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев:
сосна, ρ~0.5; для устойчивого плавания необходимо В/А > SQRT(6)/2 ~ 1.22 - даже брус квадратного сечения в положении Рис.1 устойчиво плавать не будет.
дуб, ρ~0.9; В/А > SQRT(6*0.9*0.1) = SQRT(0.54) ~ 0.725
пенопласт ρ~0.1; В/А > SQRT(6*0.1*0.9) = SQRT(0.54) ~ 0.725
Вот и всё, получилось, наверное, не короче, чем в "Кванте". Но если оставить только выкладки и убрать "слова", то всё спокойно помещается на странице - десяток строк нехитрых формулок, плюс пара-тройка рисунков.
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
