Доска, плавающая на ребре

и задачки для интервью.
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

Найти условия, при которых доска, поставленная "на ребро", может плавать не опрокидываясь.
Разумеется, речь идёт об "устойчивости в малом" - плавать плашмя всегда "легче".
User avatar
Flash-04
Уже с Приветом
Posts: 63377
Joined: 03 Nov 2004 05:31
Location: RU -> Toronto, ON

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Flash-04 »

"условия" - это форма доски или что-то другое?
Not everyone believes what I believe but my beliefs do not require them to.
User avatar
UMLец
Уже с Приветом
Posts: 8469
Joined: 15 Oct 2003 18:29
Location: Canada

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by UMLец »

Сделать одно ребро железным?
User avatar
Flash-04
Уже с Приветом
Posts: 63377
Joined: 03 Nov 2004 05:31
Location: RU -> Toronto, ON

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Flash-04 »

:mrgreen:
Not everyone believes what I believe but my beliefs do not require them to.
Hamster
Уже с Приветом
Posts: 11475
Joined: 20 Nov 2000 10:01
Location: Escondido, CA

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Hamster »

Плотность дерева должна быть больше 0.5 г/см3. Тогда центр тяжести доски, опущенной "на ребро" в воду, будет ниже поверхности, это сделает равновесие локально усточивым.
Протоукр
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

Hamster wrote:Плотность дерева должна быть больше 0.5 г/см3. Тогда центр тяжести доски, опущенной "на ребро" в воду, будет ниже поверхности, это сделает равновесие локально усточивым.
-Стало быть, по-Вашему пенопластовый кирпич или надувной матрац никогда устойчиво плавать не могут, как их на воду не положи? Ведь их плотность "нулевая", а в Вашем ответе ничего кроме плотности не учитывается!

Вообще, как всегда, важен не столько сам результат, сколько то, как он получен. Пока же, то, что Вы сказали, выглядит просто как набор аксиом, в общем случае, кстати, неверных. Даже мысль, что условием устойчивости является расположение центра тяжести ниже поверхности, совсем не очевидна и требует доказательства. Забегая вперёд, скажу больше: она попросту неверна; эксперимент (даже мысленный!) с тонкой дубовой щепкой - плотность дуба заметно больше 0.5 - явно показывает, что учёта одной только плотности мало, необходим также учёт формы/размеров.
Flash-04 wrote:"условия" - это форма доски или что-то другое?
Форма доски - это, разумеется, прямоугольник в поперечном сечении; речь идёт о соотношении его сторон.
Ну хорошо, переформулируем так, чтобы вопросов не оставалось:

При каком соотношении горизонтального (В) и вертикального (Н) размеров поперечного сечения доски и плотности её материала (ρ) доска будет плавать "на ребре"?

Лишние сущности (вроде "одно ребро железное", "длинная доска согнута в кольцо" и проч.) просьба не привлекать.
User avatar
vm__
Уже с Приветом
Posts: 11756
Joined: 10 Feb 2005 16:08
Location: CMH

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by vm__ »

Deynekin wrote:Ну хорошо, переформулируем так, чтобы вопросов не оставалось: При каком соотношении горизонтального (В) и вертикального (Н) размеров поперечного сечения доски и плотности её материала (ρ) доска будет плавать "на ребре"?
Частный случай: соотношение 1:1, плотность 0.9999 :mrgreen:
Как насчет определения "ребра"? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
User avatar
Galileo
Уже с Приветом
Posts: 2878
Joined: 29 Nov 2007 19:06

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Galileo »

Nazhmite Translit za menia, pozhalujsta.

Dobavlu 2 svoih gipotezy, skloniajus' ko vtoroj, libo otvet zavisit ot: sily poverhnostnoho natiazhenija(uveren na 10%) i viazkosti (voln netu, verno?- uveren na 50%), libo ne zavisit dazhe ot plotnosti- akkuratno mozhno postavit' v vodu pri lubyh razmerah parallelepipeda. I dazhe, ravnomerno(!) namokaja i postepenno pogruzhajas' v vodu, utonet so vremenem v vertikalnom polozhenii.

Imho, vertikalnaja proekcija centra mass vsego lish dolzhna prohodit' cherez onovanie, a eto uslovie - vypolneno.
Last edited by Galileo on 12 Sep 2009 03:27, edited 1 time in total.
Где два беларуса, там три политические партии. (Народная мудрость.)
User avatar
Galileo
Уже с Приветом
Posts: 2878
Joined: 29 Nov 2007 19:06

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Galileo »

Uverennost' v gipoteze #2 teper 90%. Pust' opyt bez vody, doska akkuratno na pol stavitsia. Gipoteza#2 verna. Teper nachnem myslenno MEDLENNO izmeniat' plotnost' vozduha, i dazhe meniat' ego viazkost'. Imho, doska dolzhna vertikalno nachat' medlenno vsplyvat', poka ne upretsia v potolok/veshchestvo men'shej plotnosti, i sily Arhimeda i tiazhesti ne urovniajutsia.
Где два беларуса, там три политические партии. (Народная мудрость.)
User avatar
vm__
Уже с Приветом
Posts: 11756
Joined: 10 Feb 2005 16:08
Location: CMH

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by vm__ »

Galileo wrote:Pust' opyt bez vody, doska akkuratno na pol stavitsia.
Хорошо бы, кстати, салом натереть, чтобы водой потом плохо смачивалась? :mrgreen:
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

vm__ wrote:Частный случай: соотношение 1:1, плотность 0.9999 :mrgreen:
Как насчет определения "ребра"? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
А вот так: найдите условие устойчивого плавания, а там - хоть горшком назовите.

Собственно задача к этому и свелась: выяснить, возможна ли устойчивость, если В<D? (Поправка: предлагаю вертикальный размер сечения обозначать как D, а не Н; а Н пусть будет глубина погружения. Поскольку решения ещё никто не предложил, предложить такое переобозначение ещё не поздно, а мне будет проще сравнивать с тем, что у меня самого получилось.) А будем ли мы это называть "ребром", "колом" или ещё как - дело десятое.

Кстати, для сосны (ρ = 0.5) у меня получилось такое "условие устойчивого плавания на ребре": B/D > SQRT(3) ~ 0.87 - никто такую форму и "доской"-то не назовёт, все скажут: "брусок". - Ну и что?

Вы задачку-то решайте - она того стоит, а не за слова цепляйтесь.
User avatar
vm__
Уже с Приветом
Posts: 11756
Joined: 10 Feb 2005 16:08
Location: CMH

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by vm__ »

Deynekin wrote:... B/D > SQRT(3) ~ 0.87 - никто такую форму и "доской"-то не назовёт, все скажут: "брусок". - Ну и что?
Вы задачку-то решайте - она того стоит, а не за слова цепляйтесь.
А two-by-four (которое 1+1⁄2 in × 3+1⁄2 in (38 mm × 89 mm)) ни доской, ни бруском как бы не хочется называть? lumber (богатое слово :umnik1: ).
В дополнение к абстрактизации - предложу также предполагать однородное (без заметного градиента) "вертикальное" гравитационное поле (т.е. размер доски << размера Земли), и что эсперимент происходит примерно на уровне моря (т.е. не в центре планеты и не слишком высоко - чтобы Луной и прочими телами пренебречь) :gen1: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
User avatar
Galileo
Уже с Приветом
Posts: 2878
Joined: 29 Nov 2007 19:06

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Galileo »

Deynekin wrote: SQRT(3) ~ 0.87

Kruto poluchilos'!!!!!!!!!! :D

P.S. Nastaivaju na svojom reshenii. Vylozhite cherez kakoe-to vremia svojo reshenie, pozalujsta.
Где два беларуса, там три политические партии. (Народная мудрость.)
User avatar
starichok
Уже с Приветом
Posts: 119
Joined: 09 Jul 2008 21:37
Location: 357600-141700-300001

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by starichok »

Deynekin wrote:Найти условия, при которых доска, поставленная "на ребро", может плавать не опрокидываясь.
Разумеется, речь идёт об "устойчивости в малом" - плавать плашмя всегда "легче".

В наше время это делалось так
:umnik1:
http://www.educ.umu.se/~popov/publications/kvant_08.pdf
тише едешь - дальше будешь
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

starichok wrote: В наше время это делалось так
:umnik1: http://www.educ.umu.se/~popov/publications/kvant_08.pdf
-Ну вот, совсем как с Остапом Бендером получилось: написал он: "Я помню чудное мгновенье,...", а потом выяснилось, что его с этим текстом уже Пушкин опередил. Так и здесь, только обозначения другие; до конца, правда, ещё не дочитал - завтра...

А за ссылку - спасибо, хотя задача уже и убита.
Но здесь, похоже, никто её решать и не собирался. Гораздо больше зелёного удовольствия ( :mrgreen: ) получают от описки SQRT(3) ~ 0.87 ( "человек разумный", конечно же, догадается, что подразумевалось: SQRT(3)/2 ~ 0.87) или от обсуждения, "где ребро, если сечение - квадрат?"

А ведь так и останутся со своей верой в "...проекция центра тяжести должна проходить через площадь опоры...", "..центр тяжести ниже поверхности..." и прочей чепухой. Впрочем, дело хозяйское.
Hamster
Уже с Приветом
Posts: 11475
Joined: 20 Nov 2000 10:01
Location: Escondido, CA

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Hamster »

Задача полностью не раскрыта.

При каких значениях параметров у бруска есть равновесные состояния, отличные от положений "на ребре" и "плашмя"? Что можно сказать про их устойчивость/неустойчивость?
Протоукр
User avatar
AndreyT
Уже с Приветом
Posts: 3009
Joined: 14 Apr 2004 01:11
Location: SFBA (было: Минск, Беларусь)

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by AndreyT »

Hamster wrote:Плотность дерева должна быть больше 0.5 г/см3. Тогда центр тяжести доски, опущенной "на ребро" в воду, будет ниже поверхности, это сделает равновесие локально усточивым.


Тут на эту тему уже было пространное обсуждение. Условие устойчивости плавающего объекта совсем не требует того (и не сводится к тому), чтобы центр тяжести был под поверхностью воды.
Best regards,
Андрей
User avatar
Galileo
Уже с Приветом
Posts: 2878
Joined: 29 Nov 2007 19:06

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Galileo »

Deynekin wrote:Но здесь, похоже, никто её решать и не собирался. Гораздо больше зелёного удовольствия ( :mrgreen: ) получают от описки SQRT(3) ~ 0.87 ( "человек разумный", конечно же, догадается, что подразумевалось: SQRT(3)/2 ~ 0.87) или от обсуждения

Я на самом деле думал над задачей. Ошибка моя была в том, что я почему-то, быстро пробежав глазами по задаче, вместо ребра представил грань. Собственно, про такую задачу и думал. На олимпиаде был бы ноль за задачу и пять за быстрое чтение. :D
Где два беларуса, там три политические партии. (Народная мудрость.)
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

Galileo wrote:Ошибка моя была в том, что я [...] вместо ребра представил грань. Собственно, про такую задачу и думал.
А вот здесь-то Вы как раз и не ошиблись, и думали над той задачей, которая и подразумевалась. Строго говоря, а условии следовало бы сказать что-то вроде "...плавать своей узкой гранью книзу", но это вышло бы слишком громоздко. Более того, когда в быту говорят "поставить доску на ребро", подразумевают именно её узкую грань, а не ребро - линию раздела граней. То же и с ладонью: "ударить ребром ладони..." Вот в этом, бытовом, смысле и было употреблено слово "ребро"; и, как видим, вполне оправдвно: к misпониманию это не привело.

Но, конечно же, если переходить от широкой доски к брусу квадратного сечения, разночтение вылезает наружу. Но препятствием для решения задачи это не является: либо уточните условие, либо решите обе задачи.

Вот, кстати, интересные продолжения-отпрыски исходной задачи (а в хороших задачах они всегда есть, тем-то они и хороши):
- Показать, что для бруса квадратного сечения и плотности материала 0.5 (сосна-осина?) плавание именно ребром (а не гранью!) книзу устойчиво.
- Вычислить потенциальную энергию системы "доска, плавающая в воде".
- Найти работу, необходимую для поворота доски, из положения "плавание плашмя" в положение "плавание ребром" (т.е. узкой гранью енизу). Рассмотреть связь величины такой работы при повороте на произвольный угол с устойчивостью плавания в таком положении.

.....
Статью из "Кванте" я так ещё целиком и не прочитал: на мой взгляд она хороша, но написана уж слишком длинновато, порой за деревьями общий вид леса теряется; мои же выкладки на эту тему (8-10 строк всего + пара рисунков) вполне уместились на "краю салфетки". И основной результат свёлся к следующему:
плавание устойчиво, если (B/A) > SQRT(6*ρ*(1-ρ)); здесь
А- размер стороны, расположенной вертикально,
В - расположенной горизонтально,
ρ - плотность материала доски, отнесённая к плотности жидкости.


Отсюда ещё одна тема:
- Обсудить поведение, вроде бы, устойчиво плавающих "поставленных на ребро" досок, сделанных из пенопласта (ρ -> 0) и дуба (ρ -> 1).

Дисклаймер насчёт ранее упоминавшейся величины SQRT(3)/2.
Для ρ=0.5 условие устойчивости даёт (B/A) > SQRT(6)/2 ~ 1.22 (а не, как было сказано раньше, SQRT(3)/2 ~ 0.87 - от "скорописи" в одном месте двоечка потерялась). И, как результат: сосновый-осиновый брусок квадратного сечения (В/А = 1) "плашмя" устойчиво плавать не может - только именно что ребром книзу.
User avatar
Hoochin
Уже с Приветом
Posts: 1031
Joined: 29 Nov 2006 22:09
Location: Si Valley

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Hoochin »

Афтар!

Не хочется и браться за такую задачу после Ваших "вводных" слов, и советами не "прицеплятся" когда Вас попросили уточнить условие, кстати вполне законное требование, как многим было очевидно, особенно почитав далее про то как кто-то понял слово "ребро"

и "я так ещё целиком и не прочитал..." и
"Но препятствием для решения задачи это не является: либо уточните условие, либо решите обе задачи." - ... йето Вас понесло уже как Остапа Б. )
User avatar
Hoochin
Уже с Приветом
Posts: 1031
Joined: 29 Nov 2006 22:09
Location: Si Valley

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Hoochin »

кстати sqrt(3)~0.87 я догадался что "пополам", но йето то же добавляет "туману"
User avatar
venco
Уже с Приветом
Posts: 2001
Joined: 10 Nov 2004 00:34
Location: MD

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by venco »

Deynekin wrote:плавание устойчиво, если (B/A) > SQRT(6*ρ*(1-ρ));
Это частный случай более общей формулы.
Положение плавающего тела произвольной формы и постоянной плотности устойчиво относительно некой оси вращения X, если I>V*d, где:
I - момент второго порядка относительно этой оси X плоской фигуры - пересечения тела с поверхностью воды;
V - объём погружённой части тела;
d - расстояние между центром масс тела и центром масс погружённой части.
В случае плоского бруска, I=b^3/12, V=abp, d=a/2(1-p). Отсюда b > a*sqrt(6*p*(1-p)).
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Deynekin »

Hoochin wrote:Афтар!
Не хочется и браться за такую задачу после Ваших "вводных" слов
Не хочется - не беритесь, у меня не убудет.

Что же до дотошных требований уточнить постановку задачи, то при известном уровне исследователю достаточно общей идеи, сути вопроса - а все, вроде бы, недостающие элементы он доопределит сам, причём сделает это так, чтобы задача не потеряла смысл и красоту. На сей раз достаточно было начать решать задачу - и всё, говоря словами Швейка, "всплыло бы как масло на поверхность воды".

Но громада предпочла тактику уклонений: того не хватает, это уточните... - Да возьмите сами, чего, как вам кажется, не хватает (""условия" - это форма доски или что-то другое?"), выберите сами какой-нибудь вариант ("ребро", "грань"), рассмотрите несколько вариантов... - Ведь задача предлагалась не для того, чтобы публика в клюве принесла "ответ", а для того, чтобы получила удовольствие от осмысления её постановки, процесса решения, обсуждения результата...

А если уж удаётся получить feedback вроде такого:
venco wrote:Положение плавающего тела произвольной формы и постоянной плотности устойчиво относительно некой оси вращения X, если I>V*d...
, то это уже удача и для самого "предлагателя". Я, признаться, такого результата не знаю, и положение по высоте "некой оси вращения X" мне пока не ясно, но буду думать.

Hamster wrote:При каких значениях параметров у бруска есть равновесные состояния, отличные от положений "на ребре" и "плашмя"? Что можно сказать про их устойчивость/неустойчивость?
-Вы сами легко это увидите, если нарисуете примерный график зависимости потенциальной энергии плавающего бруска от угла наклона, при условии, что брусок может устойчиво плавать "на ребре" и "плашмя". (Нint: экстремумы этого графика суть точки равновесия; равновесие устойчиво, если в такой точке график вогнут.)
User avatar
Galileo
Уже с Приветом
Posts: 2878
Joined: 29 Nov 2007 19:06

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Galileo »

Автор, какую Вы задачу решаете? Если первый брусок (см. рис. ниже), то, пожалуйста, выкладывайте своё решение, умещающееся на салфетке, ибо я остаюсь при своём мнении: параллелепипед устойчиво плавать будет при любых размерах. Оговорюсь, что под словом "устойчиво" понимаю небольшие отклонения, очевидно, зависящие от габаритов бруска.


Или Вы про втоторй брусок? Ну так там силы поверхностного натяжения, видимо, тоже не последнюю роль играют.

- Найти работу, необходимую для поворота доски, из положения "плавание плашмя" в положение "плавание ребром" (т.е. узкой гранью енизу).

Я не физик, но оно ж зависит от времени, за которое Вы хотите доску повернуть, или я не прав? Оно ж от вязкости среды зависит.

Автор, давно могли бы рисунок поместить, что Вы там придумываете себе решать и просите общество Привета помочь. А то Ваша волшебная салфетка так и останется тайной, как и ненаписанные мысли про решённую теорему о невозможности разложения куба на сумму двух кубов на полях "Арифметики" от Ферма Диофанту.
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
Где два беларуса, там три политические партии. (Народная мудрость.)
User avatar
Flash-04
Уже с Приветом
Posts: 63377
Joined: 03 Nov 2004 05:31
Location: RU -> Toronto, ON

Re: Доска, плавающая на ребре

Post by Flash-04 »

А то Ваша волшебная салфетка так и останется тайной, как и ненаписанные мысли про решённую теорему о невозможности разложения куба на сумму двух кубов на полях "Арифметики" от Ферма Диофанту.

по поводу той истории, AFAIK все уверены что то доказательство было 100% неверным, т.к. теперь известно что задача - весьма твердый орешек 8)
Not everyone believes what I believe but my beliefs do not require them to.

Return to “Головоломки”