Паучок на резинке (повтор?)

[Deynekin]

Вроде бы, эта задача уже предлагалась, но найти её никак не могу. Кто помнит-знает, дайте, пожалуйста, ссылку; для остальных начнём заново:

На гвоздике, к которому одним концом привязана резинка, сидит паучок; противоположный конец резинки тянут с постоянной скоростью U. В момент, когда длина резинки равна L, паучок начинает бежать по ней с постоянной скоростью v относительно резинки(*).
("Буквоедам": резинка однородная, не рвётся; гвоздь тоже крепко сидит в основе. Паучок своей малой массой на характер растяжения резинки не влияет.)
Вопросы:
1. При каком соотношении скоростей U и v паучок добежит до противоположного конца резинки? Сколько времени ему для этого понадобится?
2. Какую работу при этом произведёт паучок?

(*) Для тех, кто опасается, что в случае медлительного паучка ему "шаговым напряжением" может порвать промежность, предлагается вместо паучка рассматривать колесо, катящееся без проскальзывания с постоянной угловой скоростью.

[Uffish]

Здесь я ее задавал

viewtopic.php?f=15&t=70507

[Deynekin]

Здесь я ее задавал
viewtopic.php?f=15&t=70507

За ссылку спасибо.
Только, позвольте, как это "я", если в той ссылке (08 Jan 2005), как видим, задача поставлена от имени Dimchik'а, а у Вас и ник-имя, и эстерьер на фото, и Joined-дата совсем другие?.. Впрочем, на самоё задачу это не влияет.

Но к тому разговору есть замечание. Там каждый пришёл со своим решением, зажатым в кулаке, но кулак-то не разжал. Так, показали какие-то обрывочки результата, да и то для случая замороженных констант (1 метр, 1 метр/сек, ...) и всё обсуждение свелось к: "е" - "нет, не е, а е-1". - Как говорил Корейко, "так дела не делаются"; не приемлю я этот multiple-choice подход в таких разговорах.

Нужна, скажем так, "формула", с выводом. Тогда и игра параметров видна будет, тогда и понимание и обсуждение (а не: "ой, спешил-описался") возникнут. Может, и несколько подходов-решений всплывёт (напр., АССА на какое-то "геометрическое решение" намекал - ну как же не интересно?). Не говоря уж о том, что и тем, кто задачу не решил, польза выйдет: увидят, как же всё-таки...

Конечно, каждый считает по-своему, но я думаю, что тема так и осталась незакрытой. К тому же и новый вопрос выскочил, уже динамический и на такой уж эпигонский: какую работу должен совершать экипаж, чтобы поддерживать свою скорость отн. растягивающейся дороги постоянной?
Так что, рано пока в землю штык втывать. Но дальнейшее - на усмотрение громады.

[vaduz]

(*) Для тех, кто опасается, что в случае медлительного паучка ему "шаговым напряжением" может порвать промежность, предлагается вместо паучка рассматривать колесо, катящееся без проскальзывания с постоянной угловой скоростью.

Сдается мне, что про колесо вы погорячились...

[denys]

[Deynekin]

Сдается мне, что про колесо вы погорячились...

-"Все под Богом ходим", всякое бывает. Но пока не вижу причин то своё мнение менять.
Не могли бы Вы свой намёк расширить до содержательного пояснения?

[vaduz]

Колесико с резиночки же свалится...

[Deynekin]

Колесико с резиночки же свалится...

А кто Вам мешает выдумать порох непромокаемый?

[Иоп]

Странно... У меня получается, что при любых положительных скоростях паук доползет. Условия записывал так:

d(X/L)/dt = V/L,

или так:

dX/dt = X*U/L + V

где L = Lo + U*t (переменная длина)
X - координата паука
Решение дает:

X(t) = (U*t+Lo)*ln([U*t/Lo]+1)*V/U

Время, за которое паук доползает:

t = (Lo/U)*[e^(U/V)-1]

Вот сейчас сижу и думаю, почему паук может не доползти... По идее, если паук останавливается посреди дороги, его X/L не будет меняться. Если он будет ползти, то X/L будет расти, т.к. проскальзывание отутствует и его скорость определяется относительно точки сцепления с веревкой. Чем ближе паук к цели, тем меньше прирост оставшегося расстояния, с которым ему предстоит бороться... Получается, что на словах он должен доползти при любой V>0. Где-то я все-таки ошибаюсь...

Edit: исправил грамматические ошибки по мере сил.

[Deynekin]

Странно...
......
Получается, что на словах он должен доползти при любой V>0. Где-то я все-таки ошибаюсь...

Нет, Вы не ошибаетесь: Ваши результаты верны, и паучок доползёт всегда. Ну, а то, что первый вопрос был сформулирован как "при каких соотношениях скоростей..." - считайте, это был небольшой подвох.
Правда, я пока не понял обоснования Вашего первого уравнения, если Вы действительно начинали прямо с него, но это уже, похоже, мои прорблемы. Наверное, по этой же причине у меня на решение и ушло времени побольше чем "минуты".

Кстати, задача записывается гораздо компактнее (элегантнее), если ввести "постоянную Хаббла" H = U/L, и время отсчитывать от "момента большого взрыва" t0 = -1/H (а ещё лучше - и измерять в единицах 1/H, т.е. ввести время τ = 1 + t*H). Причины для такой терминологии очевидны, выводы из решения задачи в этих терминах - тоже (релятивистские эффекты пока вспоминать не будем).

А теперь последнее: как подсчитать работу, затрачиваемую на поддержание постоянной скорости отн. "дороги"? Иными словами, в начале движения кинетическая энергия паучка была mV**2/2, а в конце - m*(V+U)**2/2. - Какую часть из разности этих величин совершил сам паучок?

[Иоп]

Правда, я пока не понял обоснования Вашего первого уравнения, если Вы действительно начинали прямо с него, но это уже, похоже, мои прорблемы. Наверное, по этой же причине у меня на решение и ушло времени побольше чем "минуты".

Сначала я решил задачу, пользуясь

dX/dt = X*U/L + V

Но из-за "подвоха" я решил, что ошибся и попытался сформулировать условия по-другому:

d(X/L)/dt = V/L,

Идея была в том, что X/L сохраняется при отсутствии движения, что позволяет убрать X*U/L из дифуравнения. Понятно, что производная d(X/L)/dt не будет равна просто V, поэтому я ввел "коэффициент масштабирования", 1/L.

На оба решения у меня ушло несколько часов. Правда, само составление уравнений занимало не более 10 минут, но вот над их решением мне пришлось потрудиться. К счастью, под рукой были были мои старые конспекты по математике, что очень помогло.

Что ж, спасибо, Deynekin за добрую весть (что решение верно). Буду решать вторую часть.

[vaduz]

... в начале движения кинетическая энергия паучка была mV**2/2, а в конце - m*(V+U)**2/2. - Какую часть из разности этих величин совершил сам паучок?

Всю, если изобрести непромокаемый порох.

[Deynekin]

Сначала я решил задачу, пользуясь
dX/dt = X*U/L + V
Но из-за "подвоха" я решил, что ошибся и попытался сформулировать условия по-другому:
d(X/L)/dt = V/L,
Идея была в том, что X/L сохраняется при отсутствии движения, что позволяет убрать X*U/L из дифуравнения. Понятно, что производная d(X/L)/dt не будет равна просто V, поэтому я ввел "коэффициент масштабирования", 1/L.

Я не сразу заметил, что у Вас и у меня L - это не одно и то же (моё прежнее L - это Ваше Lo), теперь всё гораздо понятнее.

Неясно только, как Вы надеялись получить другой ответ, всего лишь переформулируя задачу: при условии dL/dt = U оба Ваши уравнения эквивалентны.
Правда, если смысл уравнения dX/dt = U*(X/L) + V понятен, то смысл d(X/L)/dt = V/L так и остался для меня тёмным даже после "пояснений". Вы молодец, если можете начинать решение прямо с таких постулатов.

Я поступал несколько иначе, мне уравнение пришлось выводить:
Помечаем каждую точку резинки её "лагранжевой координатой" ξ, равной её расстоянию от начала координат в начальный момент: 0<=ξ<=Lo и вводим х(ξ,t) - положение каждой из этих точек в процессе движения: х(ξ,0)=ξ, и dх(ξ,t)/dt - скорость движения точки ξ (NB: производная частная!)

Пусть теперь Х(t) - координата паучка. Когда он пробегает точку ξ, т.е. когда
Х(t) = х(ξ,t),

для его "абсолютной скорости" имеем соотношение
dX(t)/dt = dх(ξ,t)/dt + V

Учитывая, что закон движения каждой из лагранжевых точек известен:
х(ξ,t) = ξ + (ξ/Lo)*U*t,

исключаем ξ и приходим к Вашему первому уравнению:
dX/dt = (U/Lo)*X/(1 + (U/Lo)*t) + V

здесь специально выделены ранее упоминавшиеся "естественные параметры задачи" -
"постоянная Хаббла" H = (U/Lo) и время τ = 1 + (U/Lo)*t, в этих терминах получается совсем красиво: dX/dτ = X/τ + V/H

Дальше - просто: берём лопату и копаем... Но ¨уже понятно, что "по-школьному" задачу не решить.

А теперь о затрачиваемой работе (массу паучка принимаем равной единице).
Сила, которую приходится преодолевать паучку равна d(dX/dt)/dt^2,
а проходимое им самим за время dt расстояние - V*dt.
Стало быть, (при V=const интегрируется легко) произведённая им работа равна
(V*dX/dt)конечн - (V*dX/dt)начальн =...= U*V

-Wow! какой красивый результат: за счёт выбора малой собственной скорости V (а мы уже знаем, что добежать/доползти можно при любом V) затраты энергии могут быть невелики (правда, процесс может получиться очень долгим, но тут уж, кто чем богат - кто энергией, а кто временем...).

Конечно, будучи крепким задним умом, можно написать:
(U+V)^2/2 - v^2/2 = U^2/2 + U*V
и (зная уже ответ!) сказать: ну тут и так всё ясно: первый член - это энергия, полученная от езды на движущемся конце дороги, а вторая, выходит, произведена самим паучком...
Но у меня отваги на такое не хватило, пришлось выводить...

Тут и сказке конец.

[vaduz]

первый член - это энергия, полученная от езды на движущемся конце дороги

Вот тут собака и порылась.
Уточните, как дорога передает энергию колесику.
Изобретите, так сказать, непромокаемый порох.

[Deynekin]

Вот тут собака и порылась.
Уточните, как дорога передает энергию колесику.

-Эхо: Уточните, что Вам здесь неясно.
На этом пока можно и остановиться, но, чтобы такая бодяга не продолжалась бесконечно, добавлю ещё несколько слов.

vaduz, Ваше поведение - распространённое форумное незамысловатое жульничество: смесь шуточек с не очень вежливыми требованиями, и (пока) ничего больше. Так поступают те, кому по существу сказать нечего, но очень хочется "отметиться".

Хотите, чтобы получился разговор, покажите, что Вы сами сделали - вот как Иоп поступил,- тогда и будет что обсуждвть. А так на Ваше "Уточните, как..." правильный ответ пока только такой: "Вот я сейчас всё брошу и примусь для Вас ...уточнять".

Изобретите, так сказать, непромокаемый порох.

А про "непрокомаемый порох" - это было о Вашем "соскавивающем с резинки колёсике": у Вас "соскакивало" - Вам и изобретать. - Поразительно, как легко "шутники" теряют нить, если им отвечать в их же тоне.

[vaduz]

Мне не ясно, каким образом энергия будет передаваться колеску от резинки...
Точнее, каким образом резинка создаст силу, приложенную к центру колесика и направленную в сторону движения ленты.

[Иоп]

Хм... очень любопытный результат!
Если честно, я пока не смог до конца осмыслить метод; возможно, из-за того, что не вполне понимаю сам вопрос о работе. (Т.е. "чувственно" понимаю, а вот математически - нет).

Если я правильно помню, вычисление работы должно производится относительно инерциальных систем. Не смотря на то, что в системе с точкой отсчета "стена" паук движется с переменной скоростью (от V до U), в каждый отдельный момент времени мы можем считать связанную с ним систему инерциальной, памятуя об ускорении d^2x/dt2. Исходя из этого мы имеет два варианта для вычисления дифференциала пути:

1. В системе с т.о. "стена": dl=dx= (XU/L + V)*dt

2. В системах c т.о. "паук": dl=Vdt

Второй вариант дает W=UV, как было показано ранее.
Первый вариант, как я понимаю, даст (U^2)/2 + UV
Должен быть и третий вариант для того, чтобы получить (U^2)/2 в работе:

dl=XU/L*dt

Но вот на этом я теряю нить рассуждений и начинаю недоумевать по поводу физического смысла этого члена. Итак, работа это интеграл силы (ускорения) по пройденному расстоянию. Если мы рассматриваем фиксированную точку на веревке, то откуда берется ускорение, если скорость постоянна и пропорциональна U?

[Иоп]

Кажется, я начинаю понимать. Работа, связанная с растяжением веревки, вычисляется для всех точек, в которых побывает паук, отсюда и ускорение. Занятно!

[Deynekin]

вычисление работы должно производится относительно инерциальных систем.
...
Итак, работа это интеграл силы (ускорения) по пройденному расстоянию. Если мы рассматриваем фиксированную точку на веревке, то откуда берется ускорение, если скорость постоянна?

Требование инерциальности системы при вычислении работы вовсе не обязательно. Так, двигатель произвольным образом движущегося автомобиля производит одну и ту же работу (измеряемую, скажем, количеством сожжёного топлива) независимо от того, смотрим ли мы на него с обочины дороги или находимся внутри автомобиля. (Другое дело, что интерпретация того, на что пошла эта работа, с точки зрения различных наблюдателей различна, но отвлекаться на это сейчас не будем.)

Теперь насчёт ускорения. Очевидно, оно всё-таки должно быть: начали со скорости V, а закончили скоростью (V+U). Его только, может быть, увидеть непросто: каждая точки дороги движется с постоянной скоростью, скорость самого паучка тоже постоянна - откуда , вроде бы, быть ускорению?..
Но это то, что в гидродинамике назывется "конвективное ускорение": оно обусловлено перемещением от одной точки дороги/среды к другой, движущихся с различными скоростями - так, в частности, ускоряется жидкость при входе в сужающийся канал, даже если всё течение стационарно. Это ускорение равно градиенту скорости точек среды (он у нас есть!) на скорость пермещения по точкам среды (у нас это V).

Следовательно, если есть ускорение, должна быть и сила, его порождающая. Единственная сила в задаче, могущая это сделать, - это сцепление с дорогой, и она, разумеется, одна и та же, как с позиции неподвижного наблюдателя, так и для самого паучка. (Дальше вместо "паучка" и "резинки" буду говорить об "экипаже" и "дороге".)

При этом имеем две работы
- производимую самим экипажем (о ней-то и был вопрос): F*Vdt - произведение этой силы на расстояние , "отмотанное" по одометру экипажа; в экивалентных терминах: (момент силы на колесе)*(угол поворота колеса);
- и работу, совершаемую дорогой, тянущей экипаж с этой же силой (раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало").

Стоит отметить, что, если бы вместо "экипажа на растягивающейся дороге" имели бы задачу о "ракете в равномерно расширяющейся вселенной", второй работы бы не было (нет сцепления с дорогой!), и ракете для поддержания своей скорости пролёта встречных звёзд постоянной пришлось бы - увы! - затрачивать большую энергию, чем экипажу на растягивающейся дороге.

Кстати, полученный результат (U*V) ещё вот чем интересен. Пусть U<<V - например, случай мотоциклиста (V~100км/час) на дороге длиной 1 км, расширяющейся от нагрева утренним солнцем (U~1см/час). Казалось бы, чем больше V по сравнению с U, тем больше можно пренебречь расширением дороги, и тем точнее должен выполняться закон сохранения энергии. В то же время видим, что, чем больше V/U, тем большую дополнительную энергию, обусловленную расширением дороги, должен выполнять экипаж. Предлагаю подумать над этим парадоксом.

[Deynekin]

Мне не ясно, ... каким образом резинка создаст силу, приложенную к центру колесика и направленную в сторону движения ленты.

Если Вы спрашиваете всерьёз, предлагаю самостоятельно рассмотреть несколько задач о трёхколёсном велосипеде (самостоятельно - это для повышения самоценности результата, велосипеде - чтобы можно было явно чувствовать нагрузку на "двигателе", а трёхколёсном - чтобы не падал при нулевой скорости; всякими там "потерями-трениями в подшипниках", а также массой колёс, пренебрегаем):
0. Едем по неподвижной дороге с постоянной скоростью.
1. Едем с ускореннием по неподвижной дороге.
2. Устанавливаем велосипед на ускоренно движущуюся платформу и
-удерживая педали неподвижно, сохраняем своё положение отн. платформы;
-вращая педали, едем по платформе с постоянной скоростью отн. платформы.
-вращая педали, едем по платформе с постоянным ускорением отн. платформы.

В всех случаях единственная горизонтальная внешняя сила, действующая на велосипед, - это сила сцепления с дорогой, она-то его и ускоряет (как бы обидно это ни звучало для того, кто крутит педали!). Если Вам понятно, как это происходит в этих задачах, Ваш вопрос должен быть исчерпан. Если нет - в какой из задач возникает затруднение, и в чём оно конкретно состоит?

Кстати, а каким образом по-Вашему создаётся сила, "приложенная к центру колесика" автомобиля? NB: единственное, что вырабатывает двигатель - это момент силы на входе в дифференциал ведущего моста. - Где и как этот момент на кардановом валу превращается в пропульсивная силу, какие части автомобиля должны её выдерживать?

Попробуйте также рассмотреть механизм превращения вертикальной внешней силы (давление на педаль весом велосипедиста) в горизонтальную силу, ускоряющую велосипед. Заодно станет ясно, какие части велосипеда каким нагрузкам подвержены (усилия в каретке педалей, цепи, в ведомой звёздочке, оси ведущего колеса, раме...) - очень небесполезное упражнение.

[vaduz]

С задачами как раз затруднений нет.
Есть затруднение с колесиком на резинке.

Сила, которую приходится преодолевать паучку равна d(dX/dt)/dt^2,

Tут имелось ввиду ускорение колесика относительно, скажем, стенки умноженное на единичную массу?

а проходимое им самим за время dt расстояние - V*dt.
Стало быть, (при V=const интегрируется легко)

Вот тут непонятно, почему V=const. Я ожидал, что при рассчете работы данным способом путь должен считаться относительно стенки.

раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало"

У меня еще одно затруднение, потому как в идеальном случае опора несжимаема, т.е. приложенная сила ее не деформирует и в точке приложения внешней силы моментально возникает компенсирующая.
т.е. когда паучок отталкивается от резинки, то резинка (между ним и стенкой) не сжимается, т.е. движущийся конец не "узнает" о толчке. А значит и работу не произведет.

[vaduz]

Мда, надо было мне ограничиться сферическим паучком в ваккууме.

Но раз уж пошла такая пьянка, то вопрос: можно ли Spider-man считать паучком?
Если да, то он вполне может ускориться до U не затратив ни джоуля.
В каждый момент времени Spider-man выбрасывает вперед невесомую нерастягиваемую паутинку и попадает ей в точку, которая имеет скорость на V большую, чем скорость точки, в которую он переместится в следущий момент.

[banderas]

Че то я не понял по поводу совершенной работы, - если речь идет об изменении кинетической энергии, то свою скорость паук не менял и, соответственно, никакой работы не совершал. Тот, кто тянул резинку совершил работу по увеличению кинетической энергии паучка = m*(v+u)^2 - m*v^2 плюс изменение потенциальной енергии резинки = 0(?) - k * dL^2/2

[Deynekin]

Виноват, был в отъезде.

Tут имелось ввиду ускорение колесика относительно, скажем, стенки умноженное на единичную массу?

-Да, верно. Более того, можно говорить об "абсолютном ускорении" в том смысле, что при переходе от одной инерциальной системы к другой, оно не меняется. Его-то мы в задаче и вычиляли, через него и выражали силу взаимодействия экипажа с дорогой.

Я ожидал, что при рассчете работы данным способом путь должен считаться относительно стенки.

-Нет, отнюдь не стенки. Когда вы, вставая со стула, отталкиваетесь ногой от пола, вы совершаете работу (сила)*(дистанция, на которую распрямилась нога). Проделайте то же в лифте, движущемся произвольно, и эта формула не изменится. Сила - да, может быть уже другой (если лифт движется с ускорением), но дистанция, на которую вы "отпихнули" эту силу будет всё той же: длина ноги. И неважно, что и как быстро в это время мелькает за окном лифта.

в идеальном случае опора несжимаема, [...] т.е. когда паучок отталкивается от резинки, то резинка (между ним и стенкой) не сжимается, т.е. движущийся конец не "узнает" о толчке. А значит и работу не произведет.

Во-первых, слово "несжимаема" здесь явно не на месте: вся задача построена как раз на том, что дорога сжимаема (растяжима), и ещё как "сжимаема"! Видимо, Вы имели в виду, что "никакие приложенные силы (в частности, от экипажа) на закон растяжения дороги не влияют" - эдакое обобщение понятия абсолютно жёсткого тела.

Во-вторых, Ваше рассуждение легко можно обратить так, что выйдет, будто движущийся конец как раз всё и "узнает", а закреплённый - нет. (Когда паучок подтягивается на резинке, то резинка между ним и движущимся концом не растягивается, и движущийся конец "узнает" о подтягивании). Полученное "противоречие" - это хорошо известный случай статически неразрешимой задачи для абсолютно жёсткого тела при многоточечном закреплении. Поэтому с таким аршином сюда лучше не лезть.

Лучше всего дорогу представить как набор независимых самобеглых платформочек, движущихся по заданному закону (так, что в данном случае получается "равномерно растягивающаяся дорога"), и паучок/экипаж переползает/перескакивает с одной на другую. Теперь понятно, какой участок дороги производит работу: двигатель той платформы, на которой сейчас находится экипаж. Именно это я и имел ввиду, когда говорил, что "раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало"."

Кстати, вот Вам (шуточная) задача:
1. Mr.X стоит на предлинном эскалаторе метро ст. "Комсомольская кольцевая", равномерно движущемся вверх. Двигатель эскалатора, очевидно, развивает определённую силу и производит работу, поднимая груз.
2. Mr.X (опаздывая на поезд) бежит с постоянной скоростью по тому же эскалатору. При этом двигатель, очевидно, развивает ту же мощность, что и в первом случае.
Получается, что эскалатору безразлично, едет ли Mr.X мёртвым грузом или производит посильный вклад при своём подъёме наверх. - Куда делся энергетический вклад, произведённый вспотевшим Mr.X?.

Че то я не понял по поводу совершенной работы, - если речь идет об изменении кинетической энергии, то свою скорость паук не менял и, соответственно, никакой работы не совершал. Тот, кто тянул резинку совершил работу по увеличению кинетической энергии паучка = m*(v+u)^2 - m*v^2 плюс изменение потенциальной енергии резинки = 0(?) - k * dL^2/2

Ну, давайте снова "от печки":
-Усилие в точке контакта паука с дорогой было? - Было!
-Он эту силу отталкивал? - Отталкивал! (т.е. перемещение было) - Вот Вам и работа.

Возможно, если Вы ответите себе на вопросы:
-относительно чего свою скорость паук не менял? и
-относительно какой системы мы вычисляем энергию?
то ситуация прояснится.

О "потенциальной энергии резинки" мы вообще не говорим. Уже хотя бы потому, что сами слова "резинка", "тянуть за свободный конец" понадобились лишь для краткого интуитивного задания закона движения дороги. С таким же успехом можно было бы рассматривать равномерно разогреваемый стержень, оним концом упёртый в заделку. - И не было бы здесь ни того, кто тянет за свободный конец, ни накопленной упругой энергии...

[vaduz]

Полученное "противоречие" - это хорошо известный случай статически неразрешимой задачи для абсолютно жёсткого тела при многоточечном закреплении. Поэтому с таким аршином сюда лучше не лезть.

Похоже, что результат вычислений проделанной работы очень сильно зависит от конструкции резинки и способа передвижения паучка, что совсем не оговорено в формулировке задачи (см. мой пост про spider man).
Именно поэтому замена паучка колесиком, а потом экипажем с двигателем совершенно необоснована.