Симметрия на сфере

и задачки для интервью.
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Симметрия на сфере

Post by Deynekin »

Всем знакомая линия на теннисном мячике - напоминает линию соприкосновения ладоней при лепке снежка - фигура "в высшей степени" симметричная. В то же время, если её записать в естественных для сферы координатах долгота-широта (φ,θ), эту симметрию увидеть не получается.

Предложить способ задания-построения таких симметричных линий на сфере.
(Или проверки их симметричности по их уравнению Ф(φ,θ)=0)


PS Ответ "Так же, как на плоскости" не принимается.
User avatar
kosmo
Уже с Приветом
Posts: 2197
Joined: 08 May 2004 01:11
Location: Kalifornia

Post by kosmo »

В данном случае можно записать θ = θ(φ); симметрия описывается уравнениями θ(φ + π/2 ) = - θ(φ) и θ(-φ) = - θ(φ).
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Post by Deynekin »

kosmo wrote:В данном случае можно записать θ = θ(φ); симметрия описывается уравнениями θ(φ + π/2 ) = - θ(φ) и θ(-φ) = - θ(φ).

Этого явно мало. (А второе условие к тому же верно только, если угол φ отсчитывается от точки пересечения линией экватора.) При этом не обязательно получится симметрия даже в пределах одной четверти. В частности, ради последнего, тогда нужно бы ещё добавить что-то вроде θ(φ + π/4) = θ(-φ + π/4), и то это ещё не всё...

Дело в том, что замкнутая линия на сфере разрезает её на две части. Как показать, что в нашем случае эти две части не только "самосимметричны", но и конгруэнтны?
User avatar
FireFox
Уже с Приветом
Posts: 317
Joined: 09 May 2005 13:49
Location: US

Re: Симметрия на сфере

Post by FireFox »

Deynekin wrote:Всем знакомая линия на теннисном мячике - напоминает линию соприкосновения ладоней при лепке снежка - фигура "в высшей степени" симметричная. В то же время, если её записать в естественных для сферы координатах долгота-широта (φ,θ), эту симметрию увидеть не получается.

Предложить способ задания-построения таких симметричных линий на сфере.
(Или проверки их симметричности по их уравнению Ф(φ,θ)=0)


PS Ответ "Так же, как на плоскости" не принимается.

Представьте, что мы поставили теннисный мяч на плоскость, так что он стоит на одном из "полюсов".
Примерно вот так
Image

В верхнем "полюсе" разместили лампу.

Тень от этой линии на плоскости оставляет кривую похожую на бублик.
Идея примерно такая же как учат в универах о Римановской визуализации преобразований Мёбиуса
http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY

Но бублик не простой, а золотой
:mrgreen:

У бублика есть центр (проекция лампы на плоскость)

Представим, что это была комплексная плоскость, а сфера была единичной.

Так вот.
Из-за симметрии нашей линии, некоторые преобразования Мёбиуса (всякие 90-градусные вращения) должны сохранять эту линию.

В частности, очевидно, что
1) если z лежит на кривой, то -conj(z) тоже лежит.
2) Если z1 и z2 лежат на одном луче (из центра бублика), то |z1| |z2| = 1
Это была симметрия рук :D

Теперь переходим к тому, что оба "слепка" одинаковые, как если бы их слепили одинаковыми руками :D

Для этого нужно, чтобы следующее преобразование Мёбиуса сохранило эту линию:
- поворот pi/2 вокруг нужной гор. оси
- поворот pi/4 вокруг вертик. оси.
Т.е. это будет еще одно условие вида
если z принадлежит кривой, то (az+b)/(cz+d) тоже принадлежит, где a,b,c,d --- константы, которые Вам нужно посчитать.

Ну это вроде и все симметрии какие есть.

Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
Deynekin
Уже с Приветом
Posts: 367
Joined: 22 Feb 2005 02:14
Location: New York

Re: Симметрия на сфере

Post by Deynekin »

FireFox wrote:Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
"Скажу без лести": замечательно! :appl:

И картика-иллюстрация "лучше некуда". Правда, глядя на неё, я пользы от поворота на pi/4 вокруг вертик. оси усмотреть не могу. Но если повернуть не на pi/4, но на pi, тогда действительно получается самосовмещение (-в качестве "нужной" горизонтальной оси я выбираю ту, что лежит в плоскости рисунка). Впрочем, это уже мелочи. Как и то, что получающуюся линию на плоскости лучше называть не "бубликом", но контуром толстой подковы ("рогалика"?): "тор"-"бублик" в таких разговорах - термин уже крепко занятый, пергружать не стоит.

Нечто вроде резюме: FireFox указал на простое (!) преобразование, посредством которого можно задать/проверить требуемую симметрию. Похоже, тема закрыта. :great:

PS (За миллисекунду.секунду до нажатия клавиши "Отправить")
Если в качестве полюса выбрать точку исходной линии, то образ линии на плоскости уже не будет замкнутой "подковой", но разрежет плоскость на две полуплоскости. Если линия разреза будет центрально-симметричной, соотв. фигуры на сфере должны быть конруэнтыми. - Та-а-ак, полдела сделано: разрезали сферу на две одинаковые части. Правда, вторая половина - обеспечить самосимметрию каждой из фигур - уже оказывается более сложной (хотя, что делать и как уже понятно: снова вертеть сферу)... Ну что ж, принцип "теста в кулаке" в действии: здесь ужали - там выперло; дело обычное...
User avatar
FireFox
Уже с Приветом
Posts: 317
Joined: 09 May 2005 13:49
Location: US

Re: Симметрия на сфере

Post by FireFox »

Deynekin wrote:
FireFox wrote:Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
"Скажу без лести": замечательно! :appl:
...
Нечто вроде резюме: FireFox указал на простое (!) преобразование, посредством которого можно задать/проверить требуемую симметрию. Похоже, тема закрыта. :great:

Всегда рад ! :hat:

Deynekin wrote:И картика-иллюстрация "лучше некуда". Правда, глядя на неё, я пользы от поворота на pi/4 вокруг вертик. оси усмотреть не могу. Но если повернуть не на pi/4, но на pi, тогда действительно получается самосовмещение

Да. Опечатка, имелось ввиду pi конечно.

Deynekin wrote: получающуюся линию на плоскости лучше называть не "бубликом", но контуром толстой подковы ("рогалика"?): "тор"-"бублик" в таких разговорах - термин уже крепко занятый, пергружать не стоит.

Я не виноват! Да, это меня "бублик", лежащий на моем столе смутил.
Топологи меня наверное уже ненавидят. :D
Уж лучше бы я кружку бубликом назвал ;)

Return to “Головоломки”