Всем знакомая линия на теннисном мячике - напоминает линию соприкосновения ладоней при лепке снежка - фигура "в высшей степени" симметричная. В то же время, если её записать в естественных для сферы координатах долгота-широта (φ,θ), эту симметрию увидеть не получается.
Предложить способ задания-построения таких симметричных линий на сфере.
(Или проверки их симметричности по их уравнению Ф(φ,θ)=0)
PS Ответ "Так же, как на плоскости" не принимается.
Симметрия на сфере
-
- Уже с Приветом
- Posts: 367
- Joined: 22 Feb 2005 02:14
- Location: New York
-
- Уже с Приветом
- Posts: 2197
- Joined: 08 May 2004 01:11
- Location: Kalifornia
-
- Уже с Приветом
- Posts: 367
- Joined: 22 Feb 2005 02:14
- Location: New York
kosmo wrote:В данном случае можно записать θ = θ(φ); симметрия описывается уравнениями θ(φ + π/2 ) = - θ(φ) и θ(-φ) = - θ(φ).
Этого явно мало. (А второе условие к тому же верно только, если угол φ отсчитывается от точки пересечения линией экватора.) При этом не обязательно получится симметрия даже в пределах одной четверти. В частности, ради последнего, тогда нужно бы ещё добавить что-то вроде θ(φ + π/4) = θ(-φ + π/4), и то это ещё не всё...
Дело в том, что замкнутая линия на сфере разрезает её на две части. Как показать, что в нашем случае эти две части не только "самосимметричны", но и конгруэнтны?
-
- Уже с Приветом
- Posts: 317
- Joined: 09 May 2005 13:49
- Location: US
Re: Симметрия на сфере
Deynekin wrote:Всем знакомая линия на теннисном мячике - напоминает линию соприкосновения ладоней при лепке снежка - фигура "в высшей степени" симметричная. В то же время, если её записать в естественных для сферы координатах долгота-широта (φ,θ), эту симметрию увидеть не получается.
Предложить способ задания-построения таких симметричных линий на сфере.
(Или проверки их симметричности по их уравнению Ф(φ,θ)=0)
PS Ответ "Так же, как на плоскости" не принимается.
Представьте, что мы поставили теннисный мяч на плоскость, так что он стоит на одном из "полюсов".
Примерно вот так
В верхнем "полюсе" разместили лампу.
Тень от этой линии на плоскости оставляет кривую похожую на бублик.
Идея примерно такая же как учат в универах о Римановской визуализации преобразований Мёбиуса
http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
Но бублик не простой, а золотой
У бублика есть центр (проекция лампы на плоскость)
Представим, что это была комплексная плоскость, а сфера была единичной.
Так вот.
Из-за симметрии нашей линии, некоторые преобразования Мёбиуса (всякие 90-градусные вращения) должны сохранять эту линию.
В частности, очевидно, что
1) если z лежит на кривой, то -conj(z) тоже лежит.
2) Если z1 и z2 лежат на одном луче (из центра бублика), то |z1| |z2| = 1
Это была симметрия рук
Теперь переходим к тому, что оба "слепка" одинаковые, как если бы их слепили одинаковыми руками
Для этого нужно, чтобы следующее преобразование Мёбиуса сохранило эту линию:
- поворот pi/2 вокруг нужной гор. оси
- поворот pi/4 вокруг вертик. оси.
Т.е. это будет еще одно условие вида
если z принадлежит кривой, то (az+b)/(cz+d) тоже принадлежит, где a,b,c,d --- константы, которые Вам нужно посчитать.
Ну это вроде и все симметрии какие есть.
Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
-
- Уже с Приветом
- Posts: 367
- Joined: 22 Feb 2005 02:14
- Location: New York
Re: Симметрия на сфере
"Скажу без лести": замечательно!FireFox wrote:Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
И картика-иллюстрация "лучше некуда". Правда, глядя на неё, я пользы от поворота на pi/4 вокруг вертик. оси усмотреть не могу. Но если повернуть не на pi/4, но на pi, тогда действительно получается самосовмещение (-в качестве "нужной" горизонтальной оси я выбираю ту, что лежит в плоскости рисунка). Впрочем, это уже мелочи. Как и то, что получающуюся линию на плоскости лучше называть не "бубликом", но контуром толстой подковы ("рогалика"?): "тор"-"бублик" в таких разговорах - термин уже крепко занятый, пергружать не стоит.
Нечто вроде резюме: FireFox указал на простое (!) преобразование, посредством которого можно задать/проверить требуемую симметрию. Похоже, тема закрыта.
PS (За миллисекунду.секунду до нажатия клавиши "Отправить")
Если в качестве полюса выбрать точку исходной линии, то образ линии на плоскости уже не будет замкнутой "подковой", но разрежет плоскость на две полуплоскости. Если линия разреза будет центрально-симметричной, соотв. фигуры на сфере должны быть конруэнтыми. - Та-а-ак, полдела сделано: разрезали сферу на две одинаковые части. Правда, вторая половина - обеспечить самосимметрию каждой из фигур - уже оказывается более сложной (хотя, что делать и как уже понятно: снова вертеть сферу)... Ну что ж, принцип "теста в кулаке" в действии: здесь ужали - там выперло; дело обычное...
-
- Уже с Приветом
- Posts: 317
- Joined: 09 May 2005 13:49
- Location: US
Re: Симметрия на сфере
Deynekin wrote:"Скажу без лести": замечательно!FireFox wrote:Т.е. предлагаемый способ построения таких линий -- построить кривую на комплексной плоскости, удовлетворяющую заданным требованиям, а потом ее отобразить обратно на сферу.
...
Нечто вроде резюме: FireFox указал на простое (!) преобразование, посредством которого можно задать/проверить требуемую симметрию. Похоже, тема закрыта.
Всегда рад !
Deynekin wrote:И картика-иллюстрация "лучше некуда". Правда, глядя на неё, я пользы от поворота на pi/4 вокруг вертик. оси усмотреть не могу. Но если повернуть не на pi/4, но на pi, тогда действительно получается самосовмещение
Да. Опечатка, имелось ввиду pi конечно.
Deynekin wrote: получающуюся линию на плоскости лучше называть не "бубликом", но контуром толстой подковы ("рогалика"?): "тор"-"бублик" в таких разговорах - термин уже крепко занятый, пергружать не стоит.
Я не виноват! Да, это меня "бублик", лежащий на моем столе смутил.
Топологи меня наверное уже ненавидят.
Уж лучше бы я кружку бубликом назвал