Релятивистский эффект

venco · Post by **venco** » 16 Oct 2007 23:33

JustCat wrote:Предпологая однородность пространства и разгоняющего поля то концы стержня проходят по одинаковой траектории (скорость, напряженность гравитационного поля), и, следовательно показания часов в системе координат стержня не должны отличаться

Мне трудно рассуждать в терминах "разгоняющего поля" и "напряженность гравитационного поля", т.к. это ОТО, которой я не знаю.
А с точки зрения СТО траектории часов разные, поэтому я не вижу причин для одинаковости их хода.

Иоп · Post by **Иоп** » 16 Oct 2007 23:58

venco wrote:А с точки зрения СТО траектории часов разные, поэтому я не вижу причин для одинаковости их хода.

В каждый момент времени часы принадлежат ИСО, в которой их скорость движения равна нулю, причем это одна и та же ИСО для обоих часов. Собственное время всех неподвижных часов в одной ИСО должно быть одинаковым.

Hamster · Post by **Hamster** » 17 Oct 2007 00:24

В неподвижной системе показания часов, очевидно, будут одинаковыми, так как они изначально одинаковые и часы движутся по идентичным траекториям, сдвинутым на L друг относительно друга.

В системе, связанной со стержнем, показания будут разными, разница выводится в соответствии с преобразованиями Лоренца. Траектория и динамика разгона и т.д. ни при чем.

Иоп · Post by **Иоп** » 17 Oct 2007 00:32

Hamster wrote:В системе, связанной со стержнем, показания будут разными, разница выводится в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Объясните пожалуйста, почему они будут разными и какое именно преобразование должно иметь место?

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 00:42

Hamster wrote:В неподвижной системе показания часов, очевидно, будут одинаковыми, так как они изначально одинаковые и часы движутся по идентичным траекториям, сдвинутым на L друг относительно друга.

Вот здесь, по моему, у вас ошибка, т.к. траектории сдвинуты не на L, а на L*sqrt(1-(v(t)/c)^2), и поэтому не идентичны.

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 00:50

Иоп wrote:В каждый момент времени часы принадлежат ИСО, в которой их скорость движения равна нулю, причем это одна и та же ИСО для обоих часов. Собственное время всех неподвижных часов в одной ИСО должно быть одинаковым.

Ракета движется ускоренно, поэтому, чтобы узнать из состояния в момент времени t состояние в t+dt, надо перейти из ИСО S(t) в ИСО S(t+dt). Эти ИСО движутся относительно друг друга, и, т.к. часы разнесены в пространстве, то в новой системе их время будет отличаться.
Здесь у меня, возможно, ошибка в рассуждениях, и на самом деле разница отличается от того, что я насчитал, но то что это не ноль - совершенно точно.

Hamster · Post by **Hamster** » 17 Oct 2007 01:00

venco wrote:
Hamster wrote:В неподвижной системе показания часов, очевидно, будут одинаковыми, так как они изначально одинаковые и часы движутся по идентичным траекториям, сдвинутым на L друг относительно друга.

Вот здесь, по моему, у вас ошибка, т.к. траектории сдвинуты не на L, а на L*sqrt(1-(v(t)/c)^2), и поэтому не идентичны.

Да, действительно.

Но это не очень важно, потому что разница в траекториях сводится к тому, что передний конец ракеты будет во время разгона двигаться медленнее на d/dt (L sqrt(1-v^2/c^2) ) ~ L v dv/dt / c^2 sqrt(1-v^2 / c^2), и, если этот эффект проинтегрировать по времени разгона, получится величина порядка L/c (v/c)^3, в то время как основной эффект будет L/c (v/c).

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 02:50

Hamster wrote:Но это не очень важно, потому что разница в траекториях сводится к тому, что передний конец ракеты будет во время разгона двигаться медленнее на d/dt (L sqrt(1-v^2/c^2) ) ~ L v dv/dt / c^2 sqrt(1-v^2 / c^2), и, если этот эффект проинтегрировать по времени разгона, получится величина порядка L/c (v/c)^3, в то время как основной эффект будет L/c (v/c).

Во! И основной эффект в одной из наших ИСО скомпенсируется, а член порядка v^3 останется.
Как раз то, что и у меня получилось. Правда у меня точная формула есть.

Иоп · Post by **Иоп** » 17 Oct 2007 03:39

Я не понимаю.
Я сознаю, что мои познания в физики очень скромные, но, с другой стороны, эта задачка тоже ведь не для "академиков"... Если бы кто-нибудь взял на себя труд "разжевать" задачу, я был бы очень благодарен! Уж больно интересно

PS Со СТО, включая преобразования Лоренца, знаком.

JustCat · Post by **JustCat** » 17 Oct 2007 05:54

venco wrote:
Иоп wrote:В каждый момент времени часы принадлежат ИСО, в которой их скорость движения равна нулю, причем это одна и та же ИСО для обоих часов. Собственное время всех неподвижных часов в одной ИСО должно быть одинаковым.

Ракета движется ускоренно, поэтому, чтобы узнать из состояния в момент времени t состояние в t+dt, надо перейти из ИСО S(t) в ИСО S(t+dt). Эти ИСО движутся относительно друг друга, и, т.к. часы разнесены в пространстве, то в новой системе их время будет отличаться.
Здесь у меня, возможно, ошибка в рассуждениях, и на самом деле разница отличается от того, что я насчитал, но то что это не ноль - совершенно точно.

ИСО - инерциальная система отсчета. Без ускорения.

Когда я говорил об однородности пространства и времени, я подразумевал, что пространство и время инвариантны относительно сдвига (кстати это одно из предположений лежит в основе СТО. Также, СТО не может быть применена к ускорено движущимся системам. И следовательно не следует интегрировать (по крайней мере напрямую). Уравнения движения оюычно формулируют в 4-х мерном пространстве с исрользованием соответсвующи инвариантов.

Вас интересуют конечные состояния системы. (Если так интересны переходные процессы, то можно описать силу, введя виртуальное гравитационное поле, и решать уравнения движение следующие из ОТО. Но я уже давно забыл как это делается. )

Да, по поводу GPS. Гравитация влияет, потому что гравитационный потенциал Земли ~1/r. В формулу входит разность потенциалов на уровне поверхности и орбиты спутника.

Если вы считаете, что в ИСО связанной с ракетой время течет по разному в разных точках, вы не правы. Одно из следствий этого утверждения, что частота света в разных точках ракеты будет разная, что также означает, что в разных точках Земли фотоны приходящие из одного источника, могут иметь разную энергию. Поскольку это не так, то часы расположенные в разных точках ракеты должны показывать одно и тоже время.

Кстати, почему траектории с точки зрения СТО различны? В системе связанной с ракетой они тождествены с точностью до сдвига вдоль оси X на L. Свойства пространства и времени не изменяются в соответствии с условиями задачи. Поэтому интегралы по траектории должны быть одинаковы.

Кстати, а зачем решаете эту задачу?

Удачи

Hamster · Post by **Hamster** » 17 Oct 2007 08:11

Иоп wrote::( Я не понимаю.
Я сознаю, что мои познания в физики очень скромные, но, с другой стороны, эта задачка тоже ведь не для "академиков"... Если бы кто-нибудь взял на себя труд "разжевать" задачу, я был бы очень благодарен! Уж больно интересно

PS Со СТО, включая преобразования Лоренца, знаком.

Смотрите картинку.

"Показания часов" в СТО это просто длина мировой линии, рассчитанная с учетом того, что ds^2 = dt^2 - dx^2 ( а не + ). Вопрос о разнице показаний часов на концах стержня.
Прежде всего надо определиться, в какой системе отсчета сверяются показания. Если в неподвижной системе отсчета, нас интересует величина ABCDE - A'B'C'D'. Если в системе отсчета, в которой стержень покоится (после окончания разгона) - ABCD - A'B'C'D'.

На первый взгляд кривые очень похожи и, казалось бы, ABCDE = A'B'C'D'. Как правильно замечает venco, AA' = L, но ED' = L*sqrt(1-v^2/c^2), поэтому небольшое различие между интервалами есть. Оно оказывается третьего порядка в v/c.

Интервал ED находим, например, так. Сначала считаем разницу времен между D и Е в неподвижной системе с помощью преобразований Лоренца.

t(DE) = t(DE') = gamma (t - v*x/c^2) = gamma v*L/c^2

а затем переводим в разницу времен в системе, связанной со стержнем, деля на гамму

tau(DE) = v*L/c^2

JustCat · Post by **JustCat** » 17 Oct 2007 09:37

Hamster wrote:
Смотрите картинку.

Одна картинка лучше тысячи слов... Но картинка то неправильная.

Мировая линия является инвариантом в СТО. Событие асоциированое с точкой A будет занимать одно и тоже положение в пространстве времени и не зависит от выбора системы координат. ds также является инвариантом, поскольку определяет расстояние между событиями.

Часы - на сколько я представляю - это проекция точки на ось времени.

Удачи

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 13:12

JustCat wrote:ИСО - инерциальная система отсчета. Без ускорения.

Да.

Когда я говорил об однородности пространства и времени, я подразумевал, что пространство и время инвариантны относительно сдвига (кстати это одно из предположений лежит в основе СТО. Также, СТО не может быть применена к ускорено движущимся системам. И следовательно не следует интегрировать (по крайней мере напрямую). Уравнения движения оюычно формулируют в 4-х мерном пространстве с исрользованием соответсвующи инвариантов.

Увы мне, я недостаточно силён в четырёхмерных инвариантах, поэтому мне пришлось интегрировать. Но я очень старался не потерять значимых членов. Я всё ещё не уверен в правильности моего решения, поэтому давайте обсудим ваше рассуждение.

Вас интересуют конечные состояния системы. (Если так интересны переходные процессы, то можно описать силу, введя виртуальное гравитационное поле, и решать уравнения движение следующие из ОТО. Но я уже давно забыл как это делается. )

А я и не знал.

Да, по поводу GPS. Гравитация влияет, потому что гравитационный потенциал Земли ~1/r. В формулу входит разность потенциалов на уровне поверхности и орбиты спутника.

Опять же, опустим гравитацию, т.к. я ОТО не знаю, а вы её забыли.

Если вы считаете, что в ИСО связанной с ракетой время течет по разному в разных точках, вы не правы. Одно из следствий этого утверждения, что частота света в разных точках ракеты будет разная, что также означает, что в разных точках Земли фотоны приходящие из одного источника, могут иметь разную энергию. Поскольку это не так, то часы расположенные в разных точках ракеты должны показывать одно и тоже время.

Это мне не понятно. Во первых, источника у нас два.

Кстати, почему траектории с точки зрения СТО различны? В системе связанной с ракетой они тождествены с точностью до сдвига вдоль оси X на L.

Вспомните релятивистское сжатие. Траектории не прсто сдвинуты, поэтому и их длина может быть разной, пока не доказано обратное.

Кстати, а зачем решаете эту задачу?

Интересно.

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 15:55

Похоже, я исправил последнюю ошибку в вычислениях и теперь уверен в результате на 95%.

Итак, на ракете разница в показаниях часов будет равна:

Code: Select all

L/c*atanh(v/c) ~= Lv / c^2

В неподвижной системе координат:

Code: Select all

L/c*(atanh(v/c)-v/c) ~= Lv^3 / 3c^4

Иоп · Post by **Иоп** » 17 Oct 2007 16:18

Hamster wrote:Смотрите картинку.

Теперь понимаю! :fr:

В исходной системе часы будут показывать разное время - из рисунка это становится очевидным. В собственной системе, часы тоже похоже будут разными. Сегодня вечером про-интегралю и напишу ответ

Спасибо venco и Hamster! :beer:

venco · Post by **venco** » 17 Oct 2007 16:28

JustCat wrote:Мировая линия является инвариантом в СТО.

Хочется разобраться, что вы имеете в виду под этой фразой. Например, в статье из Википедии есть картинка, на которой показывается изменение формы мировой линии при смене системы координат.

Событие асоциированое с точкой A будет занимать одно и тоже положение в пространстве времени и не зависит от выбора системы координат. ds также является инвариантом, поскольку определяет расстояние между событиями.

Опять непонятно, что вы имеете в виду под сменой системы координат. По моему, при смене системы координат, координаты точки (4 числа) изменяются.
Соответственно и их положение в обычном представлении на картинке с осью времени, направленной вверх, и горизонтальной осью пространства, будет другим.

Часы - на сколько я представляю - это проекция точки на ось времени.

Если я не ошибаюсь, часы считают расстояние по оси времени в локальной системе - в которой эти часы неподвижны. Например часы, летящие со скоростью света (мировая линия - прямая на световом конусе) - стоят, несмотря на проекцию на ось времени.

Julio Metazzo · Post by **Julio Metazzo** » 17 Oct 2007 17:32

JustCat wrote:Также, СТО не может быть применена к ускорено движущимся системам.

А это кто вам сказал? Очень даже может. Вы не путайте, пожалуйста, инерциальность системы отсчета и инерциальность движения тела относительно нее. Для применимости СТО необходимо первое, но не второе. Собственно говоря, так же как и с законами Ньютона.

JustCat wrote:И следовательно не следует интегрировать (по крайней мере напрямую). Уравнения движения оюычно формулируют в 4-х мерном пространстве с исрользованием соответсвующи инвариантов.

Можно и так решать. Попробуйте. Я уверен, что ответ совпадет с ответом Venco.

JustCat wrote:Вас интересуют конечные состояния системы. (Если так интересны переходные процессы, то можно описать силу, введя виртуальное гравитационное поле, и решать уравнения движение следующие из ОТО. Но я уже давно забыл как это делается.)

И так тоже можно. И опять же, результат совпадет. Главное - правильно ввести гравполе.

JustCat wrote:Да, по поводу GPS. Гравитация влияет, потому что гравитационный потенциал Земли ~1/r. В формулу входит разность потенциалов на уровне поверхности и орбиты спутника.

Кстати, в знаменитом самолетном эксперименте проявились как гравитационная, так и "неинерциальная" компоненты рассинхронизации часов. Если не слышали, там летало два самолета в противоположные стороны вокруг Земли. Грав. компонента была одинаковая. Но за счет разных путей один самолет отстал от земли, а второй обогнал ее во времени.

JustCat wrote:Если вы считаете, что в ИСО связанной с ракетой время течет по разному в разных точках, вы не правы.

А ускоренная ракета не является ИСО. Собственно, об этом и задача.

Кстати, из картинки видно, что для "покоящегося" наблюдателя часы достигнут некоторой скорости V не одновременно. Поэтому, видимо, если мы ищем рассинхронизацию часов после достижения заданной скорости (исходная формулировка задачи), то ответ будет один. А если в заданный момент времени (по покоящимся часам) - другой.

Julio Metazzo · Post by **Julio Metazzo** » 17 Oct 2007 17:36

venco wrote:Например, в статье из Википедии есть картинка, на которой показывается изменение формы мировой линии при смене системы координат.

Клевая картинка, спасибо. Утащил.

Иоп · Post by **Иоп** » 18 Oct 2007 02:45

К сожалению, я сегодня не успел закончить расчеты. У меня есть вопросик. С точки зрения наблюдателя в исходной ИСО передний конец стрежня будет запаздывать. Получается, что после того, как один конец стержня закончил ускоряться, другой конец будет продолжать ускоряться какое-то время, что приведет к дополнительному сжатию. В этот переходный период формула для Лоренцева сжатия не работает, не так ли? Или я в этом ошибаюсь?

venco · Post by **venco** » 18 Oct 2007 04:43

В исходной ИСО ракета перестаёт разгоняться постепенно. Да и во время разгона разные точки ракеты движутся с разной скоростью. Соответственно, Лоренцево сжатие тоже надо интегрировать. Либо переходить в мгновенную ИСО ракеты и обратно, чтобы узнать расстояние и сдвиг по времени между носом и хвостом ракеты. В мгновенной ИСО ракеты, по условию, расстояние всегда L.

OtecFedor · Post by **OtecFedor** » 18 Oct 2007 05:49

venco wrote:Похоже, я исправил последнюю ошибку в вычислениях и теперь уверен в результате на 95%.

Итак, на ракете разница в показаниях часов будет равна:
Code: Select all
L/c*atanh(v/c) ~= Lv / c^2
В неподвижной системе координат:
Code: Select all
L/c*(atanh(v/c)-v/c) ~= Lv^3 / 3c^4

Подозрительны нечетные степени в скорости.

venco · Post by **venco** » 18 Oct 2007 14:34

OtecFedor wrote:Подозрительны нечетные степени в скорости.

У вас есть какие-либо мысли, почему степень должна быть чётной?

OtecFedor · Post by **OtecFedor** » 20 Oct 2007 02:10

venco wrote:
OtecFedor wrote:Подозрительны нечетные степени в скорости.

У вас есть какие-либо мысли, почему степень должна быть чётной?

По-моему разница основаная на неинециальности системы не должна сократиться при обрашении скорости/времени.
А у меня возникла идея gedanken-ехперимента, если я стержень паспилю ножовкои надвое и на концах его поставлю идентичные ракеты с идентичыми программами полета, насколько будут отличаться показания времени на ракетах?

venco · Post by **venco** » 20 Oct 2007 02:36

OtecFedor wrote:А у меня возникла идея gedanken-ехперимента, если я стержень паспилю ножовкои надвое и на концах его поставлю идентичные ракеты с идентичыми программами полета, насколько будут отличаться показания времени на ракетах?

Разность показаний пропорциональна длине (см. выше).
Так что на каждой половинной ракете разность будет в 2 раза меньше.

Julio Metazzo · Post by **Julio Metazzo** » 22 Oct 2007 21:04

venco wrote:
OtecFedor wrote:А у меня возникла идея gedanken-ехперимента, если я стержень паспилю ножовкои надвое и на концах его поставлю идентичные ракеты с идентичыми программами полета, насколько будут отличаться показания времени на ракетах?

Разность показаний пропорциональна длине (см. выше).
Так что на каждой половинной ракете разность будет в 2 раза меньше.

Если я правильно понял предыдущего докладчика, предлагалось заменить концы стержня (а не его половинки) отдельными ракетами. Тогда результат будет тот же, что и для стержня. Главное - заставить ракеты лететь на правильном расстоянии.