2 шара катящиеся вниз...

Dweller · Post by **Dweller** » 03 Oct 2007 17:31

Я взял эту задачку с другого форума т.к. показалась интересной.

My prof put a problem on the board with two tracks and two balls; the tracks are the exact same except that the 2nd track has a dip in it. The balls both start uphill, roll down, then level off, then the dip is in the middle of the level portion of the 2nd track.

He says the ball on the track with the dip will finish the track first because it accelerates in the dip and has increased velocity. This reasoning confuses me because he didn't mention anything about the increased distance. He further went to explain that it's like having two cars driving on a road, then having one car briefly accelerate and then reducing back to speed, winning a race. But that involved extra energy into the system, right?

I'm not sure if my reasoning is right, but I figured they both finish at the same time because they both have the same starting potential energy. Also, I tried thinking about his reasoning and figured the more dips you put in a road, the faster you'll get somewhere. This also doesn't seem to make sense. The entire class got this question wrong; what's the trick to it? His explanation didn't work for me.

В общем, нужно показать что второй шар докатится первым.
Сначала я пытался проинтегрировать но это оказалось не просто сделать руками тем более что функция описывающая впадину неизвестна. Лень было устанавливать пакеты типа Мапла и т.д.
Второй способ это использовать принципы физики но тут я уже завис основательно. Обосновать на пальцах трудно.
Может кому будет интересно или кто-то уже знает готовый ответ?

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 17:38

можно на пальцах. рисуем графики скорости от времени для обоих шаров после выхода на горизонтальный участок. У первого будет прямая линия, у второго - "горб" на этой линии из-за впадины.расстояние - это площадь под кривой. Из-за "горба" второй шар наберёт требуемую площадь быстрее, ч.т.д.

vm__ · Post by **vm__** » 03 Oct 2007 18:06

Flash-04 wrote:можно на пальцах.

Наш метод!
Посколько про размеры ямы не заданы, попробуем, например, очень глубокую яму (ну, скажем, километр :mrgreen:

) и шириной в метр (размеры = "от фонаря"). Пока второй шар будет туда падать и обратно вылетать, успеет ли первый шар проехать метр?

Ворона · Post by **Ворона** » 03 Oct 2007 18:11

Dweller wrote:Сначала я пытался проинтегрировать но это оказалось не просто сделать руками тем более что функция описывающая впадину неизвестна.

Может, как раз имелось в виду, что надо найти функцию, при которой второй шар докатится первым? Как в задаче о брахистохроне..
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1% ... 0%BD%D0%B0
http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 18:11

мдас... о проекции то я забыл

Dweller · Post by **Dweller** » 03 Oct 2007 18:17

Flash-04 wrote:можно на пальцах. рисуем графики скорости от времени для обоих шаров после выхода на горизонтальный участок. У первого будет прямая линия, у второго - "горб" на этой линии из-за впадины.расстояние - это площадь под кривой. Из-за "горба" второй шар наберёт требуемую площадь быстрее, ч.т.д.

Мне кажется такое объяснение не подходит.
Каким образом площать будет влиять на время прохождения участка шаром?

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 18:32

Dweller wrote:Мне кажется такое объяснение не подходит.
Каким образом площать будет влиять на время прохождения участка шаром?

подумайте

другое дело что в моём обьяснении я рассуждаю о пути пройденным шаром по кривой.

если рассматривать проекцию скорости, то подумайте о половине расстояния от начала ямы до ее середины. шар на этом участке ускоряется и пройдет этот участок быстрее, чем если бы катился по прямой. время для второй половины будет таким же (реверс характера движения - замедление, но зеркальный по времени), что в итоге нам даёт более быстрое прохождение участка ямы вторым шаром.

_vm, для сильно глубокой ямы может получится что характер движения качественно изменится (удары, подскоки), так что мы не будем рассматривать такой случай

vlad12345 · Post by **vlad12345** » 03 Oct 2007 19:11

Вспомнился еще такой подвох: что если у шариков скорости будут равны первой космической - тогда наличие ямы никак не повлияет, траектории будут одинаковыми.

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 19:13

vlad12345 wrote:Вспомнился еще такой подвох: что если у шариков скорости будут равны первой космической - тогда наличие ямы никак не повлияет, траектории будут одинаковыми.

не будут

они по условию с горки скатываюится

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 03 Oct 2007 19:20

Строители дорог - дураки дурацкие. :lol:

Одним взмахом закон сохранения энергии - в топку. Построил дорогу из ям - машины сами собой покатятся, только толкни.

Dimchik · Post by **Dimchik** » 03 Oct 2007 19:40

Может оказаться, что профессор не прав, или задача донесена неверно до слушателя. Численное интегрирование показывает, что при лунке-полукруге, и условии что шарик от нее не отрывается (и точечном шарике), все зависит от радиуса лунки: при малом (по сравнению с V0^2/g) радиусе время тратится больше в лунке, при большом - меньше. Но этот случай - патологический, так как глубина и ширина лунки определяются одним и тем же масштабом.

Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.

Dimchik · Post by **Dimchik** » 03 Oct 2007 19:41

Polar Cossack wrote:Строители дорог - дураки дурацкие. Одним взмахом закон сохранения энергии - в топку. Построил дорогу из ям - машины сами собой покатятся, только толкни.

Это ты, конечно, не подумав написал про закон сохранения энергии.

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 19:42

Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.

в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?

Dimchik · Post by **Dimchik** » 03 Oct 2007 19:46

Flash-04 wrote:
Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.

в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?

В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 03 Oct 2007 19:49

Dimchik wrote:
Polar Cossack wrote:Строители дорог - дураки дурацкие. Одним взмахом закон сохранения энергии - в топку. Построил дорогу из ям - машины сами собой покатятся, только толкни.
Это ты, конечно, не подумав написал про закон сохранения энергии.

Почему это? :pain1:

Скатившись и поднявшись, шар увеличит скорость? Значит, его кинетика возросла? От сырости в желобке?

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 19:56

Dimchik wrote:
Flash-04 wrote:
Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.

в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?

В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.

стоп, как считаем, что вектор скорости по касательной к поверхности, т.е. поворачивается в момент входа в яму? тогда ответ будет другой.

Dimchik · Post by **Dimchik** » 03 Oct 2007 19:57

Flash-04 wrote:
Dimchik wrote:
Flash-04 wrote:
Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.

в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?

В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.

стоп, как считаем, что вектор скорости по касательной к поверхности, т.е. поворачивается в момент входа в яму? тогда ответ будет другой.

Я думал, что "не отрывается от поверхности" именно это и означает.

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 20:05

и тем не менее... :oops:

vaduz · Post by **vaduz** » 03 Oct 2007 20:23

На пальцах:
Поскольку форма ямы не оговаривается, то делаем ее дно плоским и длинным.
Этот участок шарик будет преодолевать быстрее, чем поверху.
Т.е. всегда (кроме экстремальных случаев) найдется такая длина дна, при которой дорога с ямой будет быстрее...

Snafu · Post by **Snafu** » 03 Oct 2007 20:25

А что, Конгресс уже отменил закон сохранения энергии?
Слегка изменяем задачу. Ямки нет, есть широкое отверстие и жесткая площадка на какой-то глубине. Шарик проваливается в отверстие, отскакивает от площадки и возвращается на рельсы. Удар абсолютно упругий, масса подставки бесконечна - т.е. шарик возвращается на ту же высоту.
Какой шарик придет первым? Правильно - оба одновременно. Вектор горизонтальной скорости не изменился.
А теперь рисуем ямку, точно повторяющую траекторию шарика. Что-либо изменится? Отнюдь...
Резюме - при отсутствии потерь (сила трения, сопротивление воздуха и т.п.) оба шарика придут одновременно. При их наличии - тот, что падал в ямку, придет позже. Но ни при каких условиях он не придет первым.

vaduz · Post by **vaduz** » 03 Oct 2007 20:29

Snafu wrote:Но ни при каких условиях он не придет первым.

Торопится не надо, прочитайте предыдущий пост. :mrgreen:

venco · Post by **venco** » 03 Oct 2007 20:38

Силой трения, как я понимаю, пренебрегаем.
Шарик от поверхности не отрывается.
Вопрос в том, как обеспечивается это условие.
Если нет никаких дополнительных прижимающих рельсов, т.е. просто форма ямки такова, что шарик не оторвётся, то можно показать, что с ямкой он доедет не медленнее. Может и за такое же время, но для этого форма ямки должна быть специфической - парабола вниз и вверх, с отражением на дне.

Рассуждение такое.
На шарик всегда действует сила тяжести вниз и сила сопротивления опоры - перпендикулярно поверхности.
Сумма этих сил и определяет движение шарика.
Теперь рассмотрим только горизонтальную составляющую этой суммы. Сила тяжести в ней отсутствует, а вот сила от опоры - есть. Причём она разгоняет шарик горизонтально при опускании в ямку и тормозит после. Т.е. в ямке горизонтальная скорость шарика больше, и, соответственно, шарик доедет быстрее.
Горизонтального разгона не будет только если сила опоры равна нулю, т.е. шарик свободно падает по параболе вдоль соответствующей поверхности.

Есть ещё одна тонкость - инерция вращения шарика.
Её действие противоположно по знаку - про разгоне (и раскручивании) шарика трение будет иметь горизонтальную составляющую, направленную назад. Надо подумать, может ли она скомпенсировать разгон...

Snafu · Post by **Snafu** » 03 Oct 2007 20:40

Так, поторопился. Уже вижу косяк. "Отставить верблюда"(с)
Энергия обоих шариков в конце траектории будет одинакова (в идеальном случае), но это не имеет ни малейшего отношения ко времени прохождения дистанции.
Предельный случай - ямка занимает всю длину траектории. То есть первый шарик опускается до высоты H1, а второй - до H2 (нет, H2 мало, пусть будет H3

), а в конце траектории возвращается на H1. Скорость второго шарика выше. Длина траектории бесконечна. И вся любофф. :mrgreen:

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 03 Oct 2007 20:53

Друзья - вы о чем? :pain1:

Делаем доску с ямками-ямками-ямками - получаем вечный ускоритель сферических шариков в вакууме, что ли? Тогда - это нобелевка.
Поторопился - исправляюсь. В частном случае армейской действительности конструкция работает. Второй шарик упал в ямку, там отжался - и дальше побежал быстрей. С соответствии с уставом.

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 03 Oct 2007 20:57

hint: на выходе из ямки кинетическая энергия шара такая же как на входе. не надо приплетать здравый смысл, иногда он дает неправильные результаты