Точка пересечения биссектрис
-
Larkin
- Уже с Приветом
- Posts: 5855
- Joined: 18 May 2005 04:47
Точка пересечения биссектрис
Как найти ее координаты, если заданы координаты вершин треугольника? Трехмерный случай. Произвольный треугольник. Для равнобедренного решила, для произвольного - не могу, помогите, пожалуйста...
Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем... (c)
-
PavelM
- Уже с Приветом
- Posts: 13316
- Joined: 13 Jun 1999 09:01
- Location: Yekaterinburg -> Montreal
-
Larkin
- Уже с Приветом
- Posts: 5855
- Joined: 18 May 2005 04:47
-
Dimchik
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Larkin wrote:Kак составить уравнениe прямой для биссектрисы если есть уравнения прямых для сторон?
Можно векторами сделать (см. аттач), но я не знаю, самый простой ли это способ.
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
PavelM
- Уже с Приветом
- Posts: 13316
- Joined: 13 Jun 1999 09:01
- Location: Yekaterinburg -> Montreal
Решая в лоб ...
В уравнении прямой
y=ax+b
коэффициент a - тангенс угла наклона прямой к оси х, значит для двумерного случая, коэффициент a биссектрисы будет иметь вид
a = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 )
где a1 - коэффициент прямой первой стороны, а a2 - второй образующих угол для которого строим биссектрису.
Найдем b из уравнения прямой проходящей через точку угла с наклоном a:
b = y0 - a * x0
где x0 и y0 - координаты угла
т.о. прямая биссектрисы:
y = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 ) * (x - x0) + y0
Трехмерный случай - сводится к двухмерному разворотом вокруг одной из осей. Полученный результат потом преобразуем в трехмерный через обратный разворот.
В уравнении прямой
y=ax+b
коэффициент a - тангенс угла наклона прямой к оси х, значит для двумерного случая, коэффициент a биссектрисы будет иметь вид
a = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 )
где a1 - коэффициент прямой первой стороны, а a2 - второй образующих угол для которого строим биссектрису.
Найдем b из уравнения прямой проходящей через точку угла с наклоном a:
b = y0 - a * x0
где x0 и y0 - координаты угла
т.о. прямая биссектрисы:
y = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 ) * (x - x0) + y0
Трехмерный случай - сводится к двухмерному разворотом вокруг одной из осей. Полученный результат потом преобразуем в трехмерный через обратный разворот.
-
Larkin
- Уже с Приветом
- Posts: 5855
- Joined: 18 May 2005 04:47
Dimchik wrote:Larkin wrote:Kак составить уравнениe прямой для биссектрисы если есть уравнения прямых для сторон?
Можно векторами сделать (см. аттач), но я не знаю, самый простой ли это способ.
Большое тебе Димчик, пловчихинское спасибо! То, что нужно!
Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем... (c)
-
Larkin
- Уже с Приветом
- Posts: 5855
- Joined: 18 May 2005 04:47
PavelM wrote:Решая в лоб ...
В уравнении прямой
y=ax+b
коэффициент a - тангенс угла наклона прямой к оси х, значит для двумерного случая, коэффициент a биссектрисы будет иметь вид
a = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 )
где a1 - коэффициент прямой первой стороны, а a2 - второй образующих угол для которого строим биссектрису.
Найдем b из уравнения прямой проходящей через точку угла с наклоном a:
b = y0 - a * x0
где x0 и y0 - координаты угла
т.о. прямая биссектрисы:
y = tg ( arctg (a1) + ( arctg (a2) - arctg (a1) ) / 2 ) * (x - x0) + y0
Трехмерный случай - сводится к двухмерному разворотом вокруг одной из осей. Полученный результат потом преобразуем в трехмерный через обратный разворот.
Спасибо, про разворот осей я уже тоже думала, но не помню как матрицу поворота составить.
Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы жить только в настоящем... (c)
-
Dimchik
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Larkin wrote:Dimchik wrote:Larkin wrote:Kак составить уравнениe прямой для биссектрисы если есть уравнения прямых для сторон?
Можно векторами сделать (см. аттач), но я не знаю, самый простой ли это способ.
Большое тебе Димчик, пловчихинское спасибо! То, что нужно!
нема за що
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
Иоп
- Уже с Приветом
- Posts: 8832
- Joined: 18 Feb 2005 08:00
- Location: Yekaterinburg --> Toronto
Пусть K(K1,K2,K3) - точка пересечения биссектрис, а А, В и С - точки углов треугольника
Координаты точки К можно найти решив следующую систему линейных уравнений:
Sigma Kn*[ (Bn-An)/|AB| + (Cn-Bn)/|CB| ] =Sigma Bn*[ (Bn-An)/|AB| + (Cn-Bn)/|CB| ]
Sigma Kn*[ (Cn-Bn)/|CB| + (An-Cn)/|AC| ] =Sigma Cn*[ (Cn-Bn)/|CB| + (An-Cn)/|AC| ]
Sigma Kn*[ (An-Cn)/|AC| + (Bn-An)/|AB| ] =Sigma Bn*[ (An-Cn)/|AC| + (Bn-An)/|AB| ]
Примечание: Sigma - значит сумма. Индекс n - номер координаты точки, изменяется от одного до трех.
Система должна решаться в лоб. См. методы здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9
Координаты точки К можно найти решив следующую систему линейных уравнений:
Sigma Kn*[ (Bn-An)/|AB| + (Cn-Bn)/|CB| ] =Sigma Bn*[ (Bn-An)/|AB| + (Cn-Bn)/|CB| ]
Sigma Kn*[ (Cn-Bn)/|CB| + (An-Cn)/|AC| ] =Sigma Cn*[ (Cn-Bn)/|CB| + (An-Cn)/|AC| ]
Sigma Kn*[ (An-Cn)/|AC| + (Bn-An)/|AB| ] =Sigma Bn*[ (An-Cn)/|AC| + (Bn-An)/|AB| ]
Примечание: Sigma - значит сумма. Индекс n - номер координаты точки, изменяется от одного до трех.
Система должна решаться в лоб. См. методы здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9
-
Larkin
- Уже с Приветом
- Posts: 5855
- Joined: 18 May 2005 04:47
-
Иоп
- Уже с Приветом
- Posts: 8832
- Joined: 18 Feb 2005 08:00
- Location: Yekaterinburg --> Toronto
Larkin wrote:Иоп wrote:
Система должна решаться в лоб. См. методы здесь: ...
Спасибо! Сразу виден славный УПИ!
Эх, рано похвалили... Я только сейчас заметил, что одно из уравнений системы получается из двух других. Надо еще одно независимое уравнение найти. Буду думать. Может быть кто-нибудь подскажет?
Вышеуказанные уравнения были найдены через векторы. Поскольку биссектриса делит угол пополам, то косинусы двух углов по разные стороны биссектрис должны быть равны.
Косинус угла находится через скалярное произведение векторов:
cos f = (a,b)/|AB|,
где (a, b) = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
Я составил равенства для косинусов углов при каждой из биссектрис, из чего получил три уравнения, из которых одно - лишнее.
-
Иоп
- Уже с Приветом
- Posts: 8832
- Joined: 18 Feb 2005 08:00
- Location: Yekaterinburg --> Toronto
Кажется, до меня дошло: третье уравнение - уравнение плоскости, в которой лежит треугольник.
определитель нижеприведенной матрицы равен нулю:
K1-A1 K2-A2 K3-A3
K1-B1 K2-B2 K3-B3
K1-C1 K3-B3 K3-C3
Раскрытие определителя дает искомое уравнение принадлежности точки пересечения биссектрис плоскости треуголника
определитель нижеприведенной матрицы равен нулю:
K1-A1 K2-A2 K3-A3
K1-B1 K2-B2 K3-B3
K1-C1 K3-B3 K3-C3
Раскрытие определителя дает искомое уравнение принадлежности точки пересечения биссектрис плоскости треуголника
-
Иоп
- Уже с Приветом
- Posts: 8832
- Joined: 18 Feb 2005 08:00
- Location: Yekaterinburg --> Toronto
Задал задачку первокурсникам-инженерам -- они выдали более изящное решение 
Берем произвольный угол, находим единичные векторы его лучей. Складываем эти векторы и получаем единичный вектор биссектрисы. Производим ту же операцию для другой вершины. В итоге получаем два единичных вектора биссектрис.
Пусть точка К с искомыми координами(К1, К2, К3) - точка пересечения биссектрис. Положим, что мы получили единичные векторы для биссектрис из вершин А и В. Определим координаты точки К через единичные векторы биссектрис:
(K1, K2, K3) = (A1, A2, A3) + |AK|*(Au1,Au2,Au3)
(K1, K2, K3) = (B1, B2, B3) + |BK|*(Bu1,Bu2,Bu3)
Au, Bu - единичные векторы биссектрис
Находим |AK| и |BK|, приравнивая правые части уравнений и раскрывая их для любых двух коордиинат, а затем подставляем их в вышеуказанные уравнения и получаем координаты К.
Берем произвольный угол, находим единичные векторы его лучей. Складываем эти векторы и получаем единичный вектор биссектрисы. Производим ту же операцию для другой вершины. В итоге получаем два единичных вектора биссектрис.
Пусть точка К с искомыми координами(К1, К2, К3) - точка пересечения биссектрис. Положим, что мы получили единичные векторы для биссектрис из вершин А и В. Определим координаты точки К через единичные векторы биссектрис:
(K1, K2, K3) = (A1, A2, A3) + |AK|*(Au1,Au2,Au3)
(K1, K2, K3) = (B1, B2, B3) + |BK|*(Bu1,Bu2,Bu3)
Au, Bu - единичные векторы биссектрис
Находим |AK| и |BK|, приравнивая правые части уравнений и раскрывая их для любых двух коордиинат, а затем подставляем их в вышеуказанные уравнения и получаем координаты К.