Периметр/диаметр

[venco]

Что-то я никак не соображу, как доказать, что максимальное отношение периметра к диаметру у выпуклых фигур на плоскости равно пи?

[Polar Cossack]

Через доказательство того, диаметр окружности - предел "диагонали" (не диаметра ) у фигур с одинаковым периметром?
А имеются в виду правильные многоугольники?

[venco]

Я не знаю, применимо ли понятие "диагонали" к произвольным выпуклым фигурам, не многоугольникам.
А вот диаметр определён для любой выпуклой фигуры - расстояние между двумя наиболее удалёнными точками.
И таки я имею в виду произвольные выпуклые фигуры.
Кстати, отношение пи достигается не только у круга, есть ещё бесконечное множество выпуклых фигур с периметр/диаметр = пи.

[PavelM]

Что-то я никак не соображу, как доказать, что максимальное отношение периметра к диаметру у выпуклых фигур на плоскости равно пи?

Возьмем произвольный выпуклый четырехгольник.

Построим описанную окружность по трем вершинам.

Если у многоугольника не все вершины лежат на окружности, то из соображений непрерывности периметра и того что сумма 2 сторон в треугольнике больше третьей стороны, всегда найдется многоугольник с таким же периметром вершины которого лежат на окружности.

Рассмотрим теперь треугольники с вершинами на окружности.

Диаметр 2-х треугольников совпадает с диаметром четырехугольника.
Легко доказать что соотношение периметра к диаметру максимально если диаметр треугольника является диаметром окружности.

Далее, поскольку хорды короче дуг, соотношени периметра к диаметру у четырехугольника всегда будет менее Пи.

Для пятиугольника доказательство аналогично, с добавлением еще одного треуголька который увеличит периметр без увеличеия диаметра. Т.о. пятиугольник будет иметь периметр больший чем четырехугольник при том что соотносехние периметра к диаметру будет менее Пи. Ну и т.п. С увелчением числа углов, соотношение будет стремиться к Пи но его не достигать.

[Deynekin]

Что-то я никак не соображу, как доказать, что максимальное отношение периметра к диаметру у выпуклых фигур на плоскости равно пи?

Похоже, задачу можно переформулировать так: доказать, что для двух выпуклых фигур, вписанных одна в другую, периметр описывающей фигуры больше периметра вписанной.

"На пальцах" это очевидно, но, как говаривал Ландау, "если это очевидно, то давайте доказывать!"

Не уменьшая общности, можно даже считать (что и будем делать), что контуры наших фигур имеют как минимум две общие точки - если это не так, то внутреннюю фигуру всегда можно самоподобно раздуть до размеров, пока она не упрётся изнутри во внешнюю, и периметр внутренней при этом только возрастёт.

Попробуем так: разрежем наши фигуры по прямой, проходящей через общие для фигур точки С и С': получим по две пары дуг D и d, опирающиеся на отрезок СС' и лежащие по одну сторону от него (вот и выпуклость уже разок пригодилась!), и сегмент d_CC' целиком лежит внутри сегмента D_CC'. Осталось показать, что выпуклая дуга d короче её покрывающей дуги D.

Чувствуется, что уже "очень тепло", и хочется - для того, чтобы использовать совершенно необходимую выпуклость дуг - либо прокатиться касательной по меньшей дуге, либо нерезать наши дуги пучком лучей, исходящих из любой точки хорды СС', но что делать дальше... не знаю Чувство неловкости усиливается твёрдой верой, что всё это - из числа фундаментальных лемм выпуклого анализа, но вот заклинило - может, кто поможет?

Вдогонку:

Кстати, отношение пи достигается не только у круга, есть ещё бесконечное множество выпуклых фигур с периметр/диаметр = пи.

-??? - это не возражение, но совершенно искреннее удивление; пожалуйста, поясните примером.

Вдогонку-2:
venco прав: треугольный каток - первый пример из тел-не-кругов с отношением периметра к диаметру равным π. Одновременно этот пример, как пример тела, выходящего за пределы контура круга того же диаметра, разрушает положение с которого я начал свои рассуждения. - "Беру свои слова обратно."

[PavelM]

Кстати, отношение пи достигается не только у круга, есть ещё бесконечное множество выпуклых фигур с периметр/диаметр = пи.

-??? - это не возражение, но совершенно искреннее удивление; пожалуйста, поясните примером.

Разные геоиды, эллипсоиды и прочие яйцеподобные обьекты.

[venco]

Построим описанную окружность по трем вершинам.

Даже у одного треугольника диаметр описанной окружности может быть больше диаметра самого треугольника, соответственно из того что периметр треугольника меньше диаметра окружности умноженного на пи, не следует что периметр меньше диаметра самого треугольника умноженного на пи.

[PavelM]

Построим описанную окружность по трем вершинам.

Даже у одного треугольника диаметр описанной окружности может быть больше диаметра самого треугольника

Абсолютно согласен

соответственно из того что периметр треугольника меньше диаметра окружности умноженного на пи, не следует что периметр меньше диаметра самого треугольника умноженного на пи.

Еще раз согласен, только я специально оговорился, что максимальное соотношение периметра треугольника к его диаметру достигается когда диаметр треугольника совпадает с диаметром описанной окружности и это значение меньше пи.

Во всех остальных случаях, соотношение периметра треугольника к его диаметру - меньше максимального, т.к. легко заметить что с отдалением хорды (диаметра треугольника) от центра окружности его периметр убывает быстрее, чем диаметр.

[venco]

... я специально оговорился, что максимальное соотношение периметра треугольника к его диаметру достигается когда диаметр треугольника совпадает с диаметром описанной окружности ...

Это не так. Если диаметр треугольника совпадает с диаметром описанной окружности, т.е. треугольник - прямоугольный, то максимальное отношение = 1+sqrt(2) ~= 2.4.
Максимум же этого отношения - у равностороннего треугольника = 3.

Во всех остальных случаях, соотношение периметра треугольника к его диаметру - меньше максимального, т.к. легко заметить что с отдалением хорды (диаметра треугольника) от центра окружности его периметр убывает быстрее, чем диаметр.

Это я опять не понял.

К тому же то что у любого треугольника это отношение < пи и так ясно, оно даже <= 3.
Не понятно, как это доказать для любой фигуры.

[venco]

Кажется, я доказал.

Рассмотрим векторную функцию p(a) точки на периметре в зависимости от угла касательной в этой точке. В точках разрыва (на прямых отрезках) можно выбрать, например, середину, на дальнейшее доказательство этот выбор не влияет, главное, что p(a+2pi) = p(a).
Далее, периметр можно посчитать интегрированием модуля производной p по углу от 0 до 2pi:

P = integral(0, 2pi, |p'(a)|),

т.к. p'(a) направлена по касательной под углом a, модуль p' можно узнать, скалярно умножив p на единичный вектор вдоль касательной: |p'(a)| = p'(a)*e(a).
Теперь проинтегрируем по частям:

P = integral(0, 2pi, p'(a)*e(a)) = p(2pi)*e(2pi)-p(0)*e(0) - integral(0, 2pi, p(a)*e'(a)) = -integral(0, 2pi, p(a)*e'(a)).

e'(a) - единичный вектор, направленный внутрь фигуры перпендикулярно касательной.

Теперь разобьём интеграл на 2 интервала - (0,pi) и (pi, 2pi):

P = -integral(0, pi, p(a)*e'(a) + p(a+pi)*e'(a+pi)) = integral(0, pi, (p(a+pi)-p(a))*e'(a)).

p(a+pi) и p(a) - две точки на противоположных касательных, а e'(a) - единичный вектор перпендикулярный касательным, т.е. (p(a+pi)-p(a))*e'(a) = w(a) - расстояние между касательными, или ширина "тени" при освещении удалённым источником света с угла a. Заметив, что 0 <= w(a) <= W (максимальная тень) = D (диаметр фигуры):

P = integral(0, pi, w(a)) <= pi*W = pi*D.

QED

[IvanGrozniy]

А мы в школе на факультативных занятиях по математике окружность маленькими треугольничками заполняли. Одна вершина в центре. Две других на окружности лежат. Потом вся бесконечно складывали.
Про интегралы нам никто ничего не объяснял в средней школе, поэтому решали с помощью простеньких пределов. Сейчас смотрю на наше давнее решение и на вышеуказанное и вижу сходства - похоже на интегральную сумму.
Поздно я тему обнаружил, а то б подсказал.

[Deynekin]

venco, "оно, может, и умно, да уж больно непонятно":

Рассмотрим векторную функцию p(a) точки на периметре в зависимости от угла касательной в этой точке. [...]
Далее, периметр можно посчитать интегрированием модуля производной p по углу от 0 до 2pi: P = integral(0, 2pi, |p'(a)|),

- Ладно, то, что "векторная функция р(а)" молча (-!?) определена как вектор, направленный по касательной к котуру, и модуль которого равен длине дуги контура, отсчитываемой от некоторой стартовой точки, - это ещё догадаться можно.

Но вот с тем, что Вы подменяете |p(a)|' на |p(a)'|, согласиться никак нельзя: операции модуль и дифференцирование для вектор-функций не коммутативны; см., например, случай функции-единичного касательного вектора е: |е|' - это "тугой нуль", а |е'| - кривизна контура в точке а). - Пожалуйста, поясните.

PS А упоминание тени мне понравилось, сразу вспомнилась тема "Штангенциркуль".

[venco]

Ладно, то, что "векторная функция р(а)" молча (-!?) определена как вектор, направленный по касательной к котуру, и модуль которого равен длине дуги контура, отсчитываемой от некоторой стартовой точки, - это ещё догадаться можно.

Да, видать я слишком туманно начал и много пропустил.
Пусть есть прямоугольная система координат.
Мы можем построить касательную к фигуре такую, что её угол с осью x равен a, а так как таких касательных две, выбираем ту, что справа от фигуры если смотреть в направлении угла a от оси x. Эта касательная касается фигуры в точке p (если касание на протяжении отрезка, то пусть точка p - середина этого отрезка). Так вот эта точка p зависит от начального угла касательной a, т.е. является функцией a. А поскольку она содержит две координаты, то функция p(a), стало быть - векторная.
Далее по тексту.

Но вот с тем, что Вы подменяете |p(a)|' на |p(a)'|, согласиться никак нельзя: операции модуль и дифференцирование для вектор-функций не коммутативны; см., например, случай функции-единичного касательного вектора е: |е|' - это "тугой нуль", а |е'| - кривизна контура в точке а). - Пожалуйста, поясните.

Я, вроде, нигде |p(a)|' не писал.
p'(a) - всегда вектор, направленный по касательной - скорость движения точки p при изменении угла a.

[Deynekin]

[...] Так вот эта точка p зависит от начального угла касательной a, т.е. является функцией a. А поскольку она содержит две координаты, то функция p(a), стало быть - векторная.

Простите, venco, но стало не намного яснее: пока, как мне видится, Вы описываете всего лишь метод параметризации кривой посредством угла наклона касательной - здраво! Но сама-то функция р(а) (или р(а)?) ещё не определена! Я, было, понял её, как сказал ранее: модуль вектор-функции р(а) - это длина вдоль дуги, направление - по касательной.

Но теперь, похоже, речь идёт о радиус-векторе, проведённом в точку, где угол касательной равен а. - Так, что ли?

Я, вроде, нигде |p(a)|' не писал.

- Да, верно, но при том, как я сначала понял ф-цию р(а), должно было быть именно |p(a)|', а не |p(a)'|, что и породило возражение; теперь, если только догадка о радиус-векторе верна, возражение снимается.

Ну, теперь с этим новым багажом "за поясом" иду далее по тексту, надеюсь, выгребу.

[venco]

Вы описываете всего лишь метод параметризации кривой посредством угла наклона касательной - здраво! Но сама-то функция р(а) (или р(а)?) ещё не определена!

Функция p(a) таки определена формой фигуры.

Но теперь, похоже, речь идёт о радиус-векторе, проведённом в точку, где угол касательной равен а. - Так, что ли?

Да.

[IvanGrozniy]

На простом уровне так можно:
Взять правильный многоугольник с числом вершин n, где n стремится к бесконечности. Тогда многоуольник будет превращаться в круг.
Периметр многоугольника будет стремиться к длине окружности 2 * Pi * R.
Ну и собственно, если взять и поделить периметр 2 * Pi * R на диаметр 2 * R, то и получится Pi.
Еще и формулы про выпуклость многоугольника прикрутить, поделить его на бесконечно малые трегольники с вершиной в центре фигуры и двумя вершинами на поверхности и вычислять сегменты периметра из этих прямоуголников, а потом через пределы перейти к длине круга.