Area of Triangle

[Hoochin]

In a plane there are 5 point O, A1, A2, A3, and A4.
Given that all the triangles OAiAj (where i <> j and i,j from 1, 2, 3, 4) have the areas greater than or equal to 1.
Prove that there is one such triangle having the area greater or equal to sqrt(2).

[venco]

Назовём длины отрезков:
|OA1| = a, |OA2| = b, |OA3| = c, |OA4| = d.
Назовём углы:
A1OA2 = A, A2OA3 = B, A3OA4 = C, A4OA1 = D,
A+B+C+D = k*2*Pi.
Тогда площади треугольников с точностью до знака будут равны:
S12 = [OA1A2] = 1/2 a b sin(A)
S23 = [OA2A3] = 1/2 b c sin(B)
S34 = [OA3A4] = 1/2 c d sin(C)
S41 = [OA4A1] = 1/2 d a sin(D) = -1/2 d a sin(A+B+C)
S13 = [OA1A3] = 1/2 a c sin(A+B)
S24 = [OA2A4] = 1/2 b d sin(B+C)
Перемножим попарно:
S12*S34 = 1/4 abcd sin(A)sin(C)
S23*S41 = -1/4 abcd sin(C)sin(A+B+C)
S13*S24 = 1/4 abcd sin(A+B)sin(B+C)
Несложными преобразованиями замечаем, что:
S23*S41 + S13*S24 = S12*S34.
Теперь вспомним, что площади треугольников в этой формуле - с точностью до знака, т.е. если взять положительные величины площадей, то возможны 3 варианта:
S23*S41 + S13*S24 = S12*S34
S13*S24 + S12*S34 = S23*S41
S12*S34 + S23*S41 = S13*S24
В любом случае есть пара площадей, произведение которых равно сумме произведений двух других пар.
Т.к. каждая площадь >= 1, то это большее произведение будет >= 2, т.е. как минимум одна из плошадей в произведении >= sqrt(2).