Формула Герона

[Дядя Боба]

Как её вывести??

[SBolgov]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%BD%D0%B0

[Дядя Боба]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0

Неужели во времена Герона уже была известна теорема Косинусов?

Я уж не говорю про определители и матрицы...

[venco]

From MathWorld:

Heron's proof (Dunham 1990) is ingenious but extremely convoluted, bringing together a sequence of apparently unrelated geometric identities and relying on the properties of cyclic quadrilaterals and right triangles.

[SBolgov]

Неужели во времена Герона уже была известна теорема Косинусов?

Я уж не говорю про определители и матрицы...

Вас интересует, как можно вывести формулу Герона - или как именно её вывел сам Герон?

[olg2002]

Неужели во времена Герона уже была известна теорема Косинусов?

Я уж не говорю про определители и матрицы...

Можно без тригонометрии, теоремы Пифагора достаточно.

Пусть ABC - треугольник. Длины сторон: |AB|=c, |BC|=a, |CA|=b. Высота из C на AB: |CD|=hc, |AD|=cb, |DB|=ca.

Площадь треугольника S = c*hc/2.
Возводим в квадрат: S^2 = c^2*hc^2/4
По теореме Пифагора: S^2 = c^2*(b^2-cb^2)/4 = (c*b)^2/4 - (c*cb)^2/4
Во втором члене подставляем c=ca+cb: S^2 = (c*b)^2/4 - ((ca+cb)*cb)^2/4 = (c*b)^2/4 - (ca*cb+cb^2)^2/4 = (c*b)^2/4 - (((ca+cb)^2-ca^2-cb^2)/2+cb^2)^2/4 = (c*b)^2/4 - (c^2-ca^2+cb^2)^2/16
Опять же по теореме Пифагора ca^2=a^2-hc^2 и cb^2=b^2-hc^2. Подставляем: S^2 = (c*b)^2/4 - (c^2-a^2+b^2)^2/16
Раскладываем на множители разность квадратов:
S^2 = ( 2*c*b + c^2 - a^2 + b^2 )*( 2*c*b - c^2 + a^2 - b^2 )/16
Сворачиваем квадраты в каждом множителе:
S^2 = ((с+b)^2 - a^2)*(a^2 - (c-b)^2)/16
Опять раскладываем на множители разности квадратов:
S^2 = (с+b+a)*(c+b-a)*(c-b+a)(-c+b+a)/16
что собственно и есть формула Герона (желающие увидеть в ней полупериметр и квадратный корень могут проделать последний шаг самостоятельно).