Задачки-непонятки

[Дядя Боба]

1) С помощью циркуля и линейки построить угол в 1 градус.
2) Какому геометрическому преобразованию надо подвергнуть квадрат, чтобы получился круг?
3) Можно ли с помощью циркуля и линейки построить синусоиду?

[venco]

1. нет
2. никакому
3. нет

[Дядя Боба]

1. нет
2. никакому
3. нет

А почему???

[venco]

Я точно не могу доказать, но мои рассуждения такие:

1. Известно, что трисекция угла в общем виде невозможна (исключения - некоторые простые углы типа 90 градусов). Если бы можно было построить угол в 1 градус, то это было бы трисекцией угла в 3 градуса, а этот угол врядли присутствует среди исключений.

2. Тут на самом деле надо бы определить, что подразумевается под геометрическим преобразованием.

3. Здесь, опять же, я знаю, что квадратура круга невозможна, а если бы была построена синусоида, то от неё до квадратуры круга - рукой подать.

Искать по ключевым словам "angle trisection" и "squaring the circle".

[dimp]

3. Здесь, опять же, я знаю, что квадратура круга невозможна, а если бы была построена синусоида, то от неё до квадратуры круга - рукой подать.

Что-то я не соображу, как построить синусоиду, даже если предположить, что мы умеем строить квадратуру круга.
ИМХО тут все гораздо проще. С помощью циркуля и линейки можно построить только фигуры состоящие из дуг и отрезков конечной длины. Синусоида, очевидно, таковой не является и следовательно построить ее с помощью циркуля и линейки невозможно (по крайней мере за конечное время )

[venco]

3. Здесь, опять же, я знаю, что квадратура круга невозможна, а если бы была построена синусоида, то от неё до квадратуры круга - рукой подать.

Что-то я не соображу, как построить синусоиду, даже если предположить, что мы умеем строить квадратуру круга.

Это пример доказательства от противного: предположим, что синусоиду построить можно, и т.д.

ИМХО тут все гораздо проще. С помощью циркуля и линейки можно построить только фигуры состоящие из дуг и отрезков конечной длины. Синусоида, очевидно, таковой не является и следовательно построить ее с помощью циркуля и линейки невозможно (по крайней мере за конечное время )

Можно под возможностью построения синусоиды считать, например, возможность построения произвольной точки на синусоиде.

[PavelM]

1) С помощью циркуля и линейки построить угол в 1 градус.

Можно, т.к. с помощью циркуля и линейки можно всегда построить биссектрису.

3) Можно ли с помощью циркуля и линейки построить синусоиду?

Можно с заданной точностью.
Зная что с помощью циркуля и линейки с помощью циркуля и линейки можно всегда построить биссектрису и поделить отрезок пополам.
Дальше дело техники.

[lolka]

По пункту 1 вспомнился анекдот.

Телефонный звонок на мехмат:

- Алло, скажите пожалста, как мне построить угол в 56 градусов?

- эээ... ну... строите 90, делите пополам, это 45... так, еще 11... строите 30, пополам, это 15... дальше... надо подумать...

Заходит случайно оказавшийся рядом физик. Мехматянин ему говорит - слушай, мол, помоги, а? Физик берет трубку:

- Алло! А кто это говорит?

- Это с филфака беспокоят, как мне построить угол в 56 градусов?

- С филфака? Возьмите транспортир!

[vm__]

2. Тут на самом деле надо бы определить, что подразумевается под геометрическим преобразованием.

Эт точно! А так - запросто! Выгнуть каждую строну квадрата до четверти окружности - делов-то

[PavelM]

По пункту 2.

Из ФКП смутно припоминается что-то типа формулы Кристоффеля-Шварца/конформных отображений.

[kostia00]

Я точно не могу доказать, но мои рассуждения такие:

1. Известно, что трисекция угла в общем виде невозможна (исключения - некоторые простые углы типа 90 градусов). Если бы можно было построить угол в 1 градус, то это было бы трисекцией угла в 3 градуса, а этот угол врядли присутствует среди исключений.

То что трисекцию нельзя построить в общем случае ничего не говорит про частный. По-моему, эта задача про то что правильный 360-угольник нельзя построить.

http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge

[Дядя Боба]

Когда моя учительница в школе ставила в журнале точки против фамилий учеников, не принесших задание вовремя и говорила "если завтра не принесёте задание -- точки превращаются в двойки!", какое геометрическое преобразование она имела в виду?

[PavelM]

По пункту 1 вспомнился анекдот.

Телефонный звонок на мехмат:

- Алло, скажите пожалста, как мне построить угол в 56 градусов?

- эээ... ну... строите 90, делите пополам, это 45... так, еще 11... строите 30, пополам, это 15... дальше... надо подумать...

Заходит случайно оказавшийся рядом физик. Мехматянин ему говорит - слушай, мол, помоги, а? Физик берет трубку:

- Алло! А кто это говорит?

- Это с филфака беспокоят, как мне построить угол в 56 градусов?

- С филфака? Возьмите транспортир!

Да уж. С одним градусом и синусом, это я явно поторопился.

[lolka]

Да уж. С одним градусом и синусом, это я явно поторопился.

Вот именно, а то ругаються тут всякими Кристоффелями-Шварцами, мне аж ТФКП'шник приснился надысь.

[SBolgov]

Когда моя учительница в школе ставила в журнале точки против фамилий учеников, не принесших задание вовремя и говорила "если завтра не принесёте задание -- точки превращаются в двойки!", какое геометрическое преобразование она имела в виду?

Имелось в виду преобразование точки на плоскости (внутри квадрата, а точнее - прямоугольника) в точку на числовой прямой (2).

[vm__]

Когда моя учительница в школе ставила в журнале точки против фамилий учеников, не принесших задание вовремя и говорила "если завтра не принесёте задание -- точки превращаются в двойки!", какое геометрическое преобразование она имела в виду?

Имелось в виду преобразование точки на плоскости (внутри квадрата, а точнее - прямоугольника) в точку на числовой прямой (2).

Проекция на (невидимую) прямую?

[Дядя Боба]

Я точно не могу доказать, но мои рассуждения такие:

1. Известно, что трисекция угла в общем виде невозможна (исключения - некоторые простые углы типа 90 градусов). Если бы можно было построить угол в 1 градус, то это было бы трисекцией угла в 3 градуса, а этот угол врядли присутствует среди исключений.

То что трисекцию нельзя построить в общем случае ничего не говорит про частный. По-моему, эта задача про то что правильный 360-угольник нельзя построить.

http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge

Я знавал пацана, который пытался доказать возможность построения правильного n-угольника с помощью метода математической индукции.

[Дядя Боба]

1. Известно, что трисекция угла в общем виде невозможна (исключения - некоторые простые углы типа 90 градусов). Если бы можно было построить угол в 1 градус, то это было бы трисекцией угла в 3 градуса, а этот угол врядли присутствует среди исключений.

1) Вопрос: что же тогда присутствует среди исключений?
2) Можно ли построить угол в 1 радиан?

[venco]

1. Мне кажется, все исключения - это случаи, когда можно построить угол в одну треть от заданного, независимо от собственно заданного угла.
Т.е. самой трисекции то и нет, наличие заданного угла не помогает. Просто я умею строить угол в 30 градусов, а это одна треть от прямого.
2. Я думаю нет.

[Ворона]

[Можно ли построить угол в 1 радиан?

Я думаю нет.

Ну почему же.. Это с помощью транспортира нельзя (ну или только приближенно). А с помощью циркуля и какого-нибудь шдурка (хвост Иа сойдет) можно легко:
Строим произвольную окружность. Потом берем шнурок и прикладываем так, чтобы получить размер радиуса. Затем аккуратненько-аккуратненько прикладываем шнурок к окружности. Пальчиками подправляем.. Так, получили дугу по длине равной радиусу. Готово! Соответствующий этой дуге угол и есть угол в 1 радиан.

[AndreyT]

3) Можно ли с помощью циркуля и линейки построить синусоиду?

Не совсем понятно, о каком построении могла бы идти речь, даже если бы этому не существовало никаких фундаментальных преград из области "квадратуры круга" и т.п.

При помощи только циркуля и линейки можно построить только кривую, состоящую из дуг окружностей и отрезков прямых. О синусоиде такого сказать нельзя.

А вот строить при помощи только циркуля и линейки точки, принадлежащие синусоиде, - можно. При этом достижима произвольная плотность их расположения (было бы время и желание). Соединяя из отрезками прямых, можно получить ломаную, сколь угодно близко "похожую" на синусоиду. Но это, по-видимому, не считается "построением синусоиды".

О каком же "построении синусоиды" все таки идет речь в условии?

[kludge]

3) Можно ли с помощью циркуля и линейки построить синусоиду?

Не совсем понятно, о каком построении могла бы идти речь, даже если бы этому не существовало никаких фундаментальных преград из области "квадратуры круга" и т.п.

При помощи только циркуля и линейки можно построить только кривую, состоящую из дуг окружностей и отрезков прямых. О синусоиде такого сказать нельзя.

А вот строить при помощи только циркуля и линейки точки, принадлежащие синусоде, - можно. При этом достижима произвольная плотность их расположения (было бы время и желание). Соединяя из отрезками прямых, можно получить ломаную, сколь угодно близко похожую на синусоиду. Но это, по-видимому, не считается "построением синусоиды".

О каком же "построении синусоиды" все таки идет речь в условии?

Обычно имеется в виду "определить, принадлежит ли данная точка геометрическому месту" или "построить точки пересечения с заданной прямой".

[kludge]

1. Известно, что трисекция угла в общем виде невозможна (исключения - некоторые простые углы типа 90 градусов). Если бы можно было построить угол в 1 градус, то это было бы трисекцией угла в 3 градуса, а этот угол врядли присутствует среди исключений.

1) Вопрос: что же тогда присутствует среди исключений?
2) Можно ли построить угол в 1 радиан?

Если задан отрезок длины 1, циркулем и линейкой можно строить любые квадратичные иррациональности и только их. Соответственно, чтобы построить некий угол, его синус должен быть таковой. Вот, собственно, и все.

Синус угла в один радиан, по всей видимости, трансцендентен (доказывать лень); ответ - нельзя.

[Flash-04]

Строим произвольную окружность. Потом берем шнурок и прикладываем так, чтобы получить размер радиуса. Затем аккуратненько-аккуратненько прикладываем шнурок к окружности. Пальчиками подправляем.. Так, получили дугу по длине равной радиусу. Готово! Соответствующий этой дуге угол и есть угол в 1 радиан.

рыдалъ

[Lanette]

Дяда Боба, где же истина?