Вероятность значений поля

[Aspirant]

Вот мне задачку понадобилось решить, и она некоторым образом связана с соседней темой (про x^x). Задачка следущая:

В центре координат находится "заряд", вокруг которого образуется сферически-симметричное "поле", которое меняется с расстоянием как f(r). Я помещаю "измеритель поля" в случайно выбранную точку (xyz). Каково распределение вероятности для измеренных значений?

Результат получается довольно просто для поля, которое меняется как обратный квадрат f(r)~1/r^2 (и вообще, r^n)... Но вот кто бы подсказал решение для f(r)~exp(-r/R)/r^2 ("заскриненный обратный квадрат")?

[venco]

Я помещаю "измеритель поля" в случайно выбранную точку (xyz).

Ответ зависит от распределения выбираемых точек.

[Aspirant]

Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

[Tigrius]

Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

Не существует вероятностного распределения равномерного во всем трехмерном пространстве.

[vc]

Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

There cannot be a uniform distribution in the unbounded space, obviously. Consider the real line (R) for example.

[kostia00]

Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

There cannot be a uniform distribution in the unbounded space, obviously. Consider the real line (R) for example.

Точнее будет сказать, что не бывает равномерного распределения на пространствах бесконечного объема.

[Aspirant]

Задача достаточно прикладная, так что я не беспокоился о том, возможно ли действительно поместить измеритель в любую точку бесконечного пространства. Если хотите, пусть объём будет ограничен сферой очень большого радиуса с центром в начале координат (т.е. в положении заряда). Внутри этой сферы распределение точек измерений равномерно.

[kostia00]

Задача достаточно прикладная, так что я не беспокоился о том, возможно ли действительно поместить измеритель в любую точку бесконечного пространства. Если хотите, пусть объём будет ограничен сферой очень большого радиуса с центром в начале координат (т.е. в положении заряда). Внутри этой сферы распределение точек измерений равномерно.

А в каком виде Вы ходите свое распределение? Казалось бы,

pdf(r) = const * 2*\pi*r * e(-r/R)/{r^2}

а const вычисляется проинтегрировав 2*\pi*r * e(-r/R)/{r^2} по частям на [0; RBIG], где RBIG - тот самый очень большой радиус?

[Dimchik]

Aspirant,
а в чем проблема состоит? Обратить функцию f(r), т.е. получить r(f)?

Кроме того, я, может, туплю, но где такое "заскриненное" поле возникает? Т.е. если это просто кулоновское поле заряда, что экранируется потенциал, по-моему, а не поле.


kostia00

а откуда вообще интегралы? *А, уже увидел, что вы убрали упоминание интегралов *
Сорри за вопросы, я наивен в этих вероятностных делах:)

[venco]

Если хотите, пусть объём будет ограничен сферой очень большого радиуса с центром в начале координат (т.е. в положении заряда). Внутри этой сферы распределение точек измерений равномерно.

Тогда ответ будет зависеть от радиуса этой большой сферы.

[Dimchik]

Задача достаточно прикладная, так что я не беспокоился о том, возможно ли действительно поместить измеритель в любую точку бесконечного пространства. Если хотите, пусть объём будет ограничен сферой очень большого радиуса с центром в начале координат (т.е. в положении заряда). Внутри этой сферы распределение точек измерений равномерно.

А в каком виде Вы ходите свое распределение? Казалось бы,

pdf(r) = const * 2*\pi*r * e(-r/R)/{r^2}

а const вычисляется проинтегрировав 2*\pi*r * e(-r/R)/{r^2} по частям на [0; RBIG], где RBIG - тот самый очень большой радиус?

kostia00, вы, по-моему, не так поняли Aspirant'a, ибо то, что вы написали ну никак не может быть ответом на поставленный вопрос:))

[kostia00]

kostia00, вы, по-моему, не так поняли Aspirant'a, ибо то, что вы написали ну никак не может быть ответом на поставленный вопрос:))

Я вижу что не прочитал (xyz), т.е. вместо площади круга надо подставить объем сферы. А так в чем ошибка?

[Dimchik]

kostia00, вы, по-моему, не так поняли Aspirant'a, ибо то, что вы написали ну никак не может быть ответом на поставленный вопрос:))

Я вижу что не прочитал (xyz), т.е. вместо площади круга надо подставить объем сферы. А так в чем ошибка?

Хотя бы в том, что вас просят найти распределение значений поля, а вы умножили значение поля на "кол-во точек" в окрестности данного радиуса.

Мне кааца, что все тривиально, и просто нужно обратить f(r), и тогда P(f)\propto r(f)^2.
Или я гоню?

[Aspirant]

Димчик, да, я застрял на обращении функции.

[kostia00]

Хотя бы в том, что вас просят найти распределение значений поля, а вы умножили значение поля на "кол-во точек" в окрестности данного радиуса.

Ну да, заклинило. Жена разъяснила.

[venco]

От, блин. И я не заметил, что нужно распределение значений, и зачем-то считал среднее значение поля.
Будем думать дальше...

[vlad12345]

Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

Имхо, как раз здесь собака и зарыта. Распределение выбираемых точек _существенно_ влияет на результат. Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные. А может вам больше подходит нормальное распределение? Или вы предполагаете некую процедуру проведения экспериментов, тогда хорошо бы описать эту процедуру формально.

[Aspirant]

Чего-то народ, кроме Dimchik-а, пытается решать более сложную задачу, чем я предложил. Или поверить не может, что задачка такая лёгкая, или это отличие математиков от физиков, не знаю. Полностью обсуждать эксперимент смысла нет, там проблемы уж точно не для раздела "Головоломки", а вот известные в определённых кругах и, как мне показалось, красивые идеи обсудить, по-моему, интересно.

Так что, продолжение задачи. "По всему пространству случайным образом" распределены описанные в первом посте "заряды". Каково распределение вероятностей величины "напряженности поля"? Для начала, найдите вероятность того, что в "случайно выбранной точке" величина поля (a)очень велика (b)почти равна нулю.

Я понимаю, что "по всему пространству", "случайным образом" и "случайно выбранная точка" опять нечётко определены, но интуитивно должно быть понятно что это значит. Задача эта впервые возникла в астрономии, получающееся распределение известно точно и имеет название. Это же распределение используется в физике плазмы, во всяком случае, заряженной плазмы (мои трудности состоят в том, что мне нужно решить её для нейтральной плазмы, но оставим эту часть пока в покое).

[Noskov Sergey]

Yukawa screening potential используется повсеместно - у вас есть потенциал (ну или его градиент если так удобней) суть произведение кулоновского и потенциала Юкавы. Одно непонятно зачем заморачиваться с вероятностями для поля если вы можете его получить в лоб зная дистанцию от центра. Все же надо немного подформулировать чего хочется.

[ksi]

Чего-то народ, кроме Dimchik-а, пытается решать более сложную задачу, чем я предложил. Или поверить не может, что задачка такая лёгкая, или это отличие математиков от физиков, не знаю. Полностью обсуждать эксперимент смысла нет, там проблемы уж точно не для раздела "Головоломки", а вот известные в определённых кругах и, как мне показалось, красивые идеи обсудить, по-моему, интересно.

Так что, продолжение задачи. "По всему пространству случайным образом" распределены описанные в первом посте "заряды". Каково распределение вероятностей величины "напряженности поля"? Для начала, найдите вероятность того, что в "случайно выбранной точке" величина поля (a)очень велика (b)почти равна нулю.

Я понимаю, что "по всему пространству", "случайным образом" и "случайно выбранная точка" опять нечётко определены, но интуитивно должно быть понятно что это значит. Задача эта впервые возникла в астрономии, получающееся распределение известно точно и имеет название. Это же распределение используется в физике плазмы, во всяком случае, заряженной плазмы (мои трудности состоят в том, что мне нужно решить её для нейтральной плазмы, но оставим эту часть пока в покое).

Просто если ваше f(r)->0, при r-> inf, а вы считаете, что распределение точки равномерное в большой сфере радиуса R, то ответом при R -> inf будет очевидно ноль. Ваше "равномерное" обязано иметь ненулевую (и не стремящуюся к нулю) массу в любой фиксированной сфере с центром в нуле, иначе ответ всегда 0. А такое распределение далеко не равномерно. И ответ на вопрос, который вы задаете полностью определяется этим распределением."случайной точки". Не формализуете распределение, не получите ответ.

[Hamster]

Как я понимаю, вам нужно распределение как функция плотности зарядов.
Для случая f(r) ~ 1/r^2 задача в такой постановке не решается, т.к. потенциал слишком медленно убывает. Получается, что среднее значение поля расходится пропорционально радиусу пространства, в котором распределены заряды. ( На пальцах - потенциал, создаваемый зарядами между сферами радиуса r и r+dr, порядка 1/r^2, а число этих зарядов порядка r^2 dr ).

Для случая f(r) ~ e(-r/R) / r^2 решения в общем виде не получается. Можно оценить поведение распределения в предельных случаях. ( В частности, для U>>1, p(U) ~ 2 * pi * rho * U^(-2.5) ) Результаты будут принципиально разные в зависимости от значения величины \rho * R^3 ( среднее число зарядов в характерном объеме ), проще говоря, от того, насколько перекрываются потенциалы разных зарядов.

[ПБХ]

Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные.

Huh? Равномерное распределение подразумевает, что вероятность попадания в "кусок" пропорциональна площади куска.

[AndreyT]

Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные.

Huh? Равномерное распределение подразумевает, что вероятность попадания в "кусок" пропорциональна площади куска.

(Хоть и запоздало). Пусть речь идет о 2D случае, раз уж использовался термин "площадь".

Любая геометрическая вероятность опирается на зарнее выбраннную метрику. Без выбора метрики говорить о каком-то равномерном распределении бессмысленно. Разные метрики будут давать разные результаты. Понятие "площади куска" тоже опирается на выбор метрики. Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области (джентельменский набор из парадокса Бертрана). Каждый раз получится свое значение площади. И, соответсвенно, свое равномерное распределение.

Если под "площадью" вы подразумевали классическую евклидову площадь, то тем самым вы уже неявно завязались на конкретную метрику. А кто вам разрешил завязываться именно на нее? В условии задачи ничего подобного не сказано.

[venco]

Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области

Каждый раз получится одинаковая площадь.
Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

[AndreyT]

Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области

Каждый раз получится одинаковая площадь.
Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Совершенно очевидно, например, что площадь равновеликих в "традиционном" смысле (прямоугольные координаты) полигонов может быть сколь угодно различной в полярных координатах в зависимости от расположения этих полигонов относительно полюса. Тот, который "располагается дальше" от полюса" будет иметь меньшую полярную площадь. Это не менее очевидно (а может даже более очевидно и релевантно к данной задаче) если считать площадь методом Монте-Карло.

Под "периферийными полярными" координатами (название, конечно, неудачное) я имел в виду не просто перенос полюса в новое место, а принципиально отличную систему координат для территории внутри круга с центром O. Я думал будет понятно, о чем идет речь, именно потому, что я упомянул парадокс Бертрана (все три метрики обычно рассматриваются в нем). Берем "крайнюю правую" точку на окружности - это полюс P. Для определения координат произвольной точки A в круге проводим прямую OA. Пусть B - вторая точка пересечения OA с окружностью. Радиус-координата точки A - это, скажем, отношение длины OA к длине OB. Угловая координата точки A - это угловая координата точки B в традиционных полярных координатах с полюсом O (не P, а именно O). Таким образом, центр круга будет иметь координаты (0.5, Pi). Такая система координат принципиально отлична от первых двух и будет определять свою уникальную "площадь".