Для начала внимательно прочитайте
ЗАКОН О ГРАЖДАНСТВЕ РБ
Первое, с чем Вам надо определиться, собираетесь ли Вы давать белорусское гражданство Вашему ребенку.
Даже отвлекаясь от здравого смысла ( для каждого он, естественно свой), а из чисто формальных соображений, чтобы не нарушать законы ни одной из стран, надо иметь ввиду, что ни США ни РБ на данный момент времени не признают двойного гражданства. Т.е. принятие Вашим ребенком гражданства РБ потребует отказа его от американского гражданства, которое у него уже есть по рождению. И, как следствие, необходимость оформления permanent resident card и reentry permit для того, чтобы ребенок мог свободно покидать территорию США и затем возвращаться сюда. Эта процедура весьма длительная и хлопотная.
Следовательно разумнее, даже с формальной точки зрения, получить американский паспорт для Вашего ребенка и белорусскую визу. Соответственно, придется регистрировать его в ОВИР как прибывшего иностранного гражданина.
Лично для Вас видится наиболее оптимальным оформить ПМЖ, находясь еще здесь. Оснований более чем достаточно. Процедура занимает некоторое время, т.к. для положительного решения государство должно убедиться, что за Вами нет долгов перед государственными организациями, юридическими и физическими лицами РБ. Это Вы сами можете оценить, если Вы не обладаете государственными секретами, не поступали в платные учебные заведения, не имеете задолженности по налогам и у Вас нет родственников, которых Вы по закону обязаны содержать, то можно надеяться, что оформление не займет времени больше минимального,определенного законодательством. Оформлять это лучше здесь. По той простой причине, что здесь Вы будете сидеть дома и ждать результата. Все вопросы будут решаться с использованием почты, телефона, факса и пр. средств связи. Там же придется все делать лично, проводя время в очередях и выслушивая наставления чиновников.
В случае положительного исхода, Вы получите паспорт серии РР, который позволит Вам спокойно, без всяких виз приезжать в РБ и другие страны, с которыми у Беларуси существует соглашение о безвизовом посещении - РФ, Украина, Куба и т.д. В будущем, когда Вы получите гражданство США, вы сможете использовать этот паспорт для поездок в указанные страны. Хотя, с формальной точки зрения, это не соответствует законодательству США и РБ, но, по крайней мере сегодня, это допустимо в практике и никто за это не наказывает. Единственное условие - въезд на территорию РБ (гражданином которой Вы остаетесь, если не оформляете отказ от гражданства) должен происходить
только по паспорту РБ.
Второй путь для Вас - стать на временный консульский учет. Это заменит тот самый пресловутый штамп. Правда, то обстоятельство, что срок действия паспорта истекает довольно скоро, может создать некоторые затруднения в постановке на учет. Тут надо проконсультироваться в консульстве. Возможно, что они смогут поставить Вас на учет на срок до истечения срока действия паспорта, с тем, что Вы впоследствии будете оформлять ПМЖ.
Вариант с заменой паспорта в Минске тоже имеет право на рассмотрение, но время, которое это займет прогнозировать весьма сложно. При этом, безусловно, потребуется свидетельство о браке, заверенное апостилем. Процедура будет состоять как бы из двух частей. Собственно получение паспорта и оформление штампа. Каждая из них - это недели две. Плюс стояние в очередях ОВИРА, чтобы сдать документы, а потом, чтобы их получить. Ну и это, пожалуй единственный вариант, где будет возникать проблема разных last name.
Прошу прощения за то, что повторение некоторых советов. Пока писал,отвлекаясь на выполнение трудовых обязанностей, многое уже Вам рассказали.
Удачи. И с Новым Годом!
Когда-то я был молод и красив, а теперь - только красив.
?
.?
, голова пухнет 
. Не знаю с какого конца подойти, за что хвататься. Вы-единственная надежда 
.
Не согласен.
! (забудьте про эти 3-6 месяцев, которые написаны на сайте консульства 
.
Действительно в данном случае (отец-американец) надо в беларусское гражданство "проситься".